Question

17．已知函数f（x）=x³-2x²-4x，x∈R，函数g（x）=x²-4x，（x∈R）
（1）求f（x）的单调区间；
（2）求函数f（x）与函数g（x）的曲线所围成封闭图形的面积？

Answer 1

分析 （1）首先对f（x）求导，只要解不等式f'（x）＞0和f'（x）＜0即得f（x）的递增区间和递减区间；
（2）利用定积分是几何意义，首先利用定积分表示封闭图形的面积，然后计算．

解答 解：∵f（x）=x³-2x²-4x，x∈R
∴f′（x）=3x²-4x-4…（1分）
令f′（x）=3x²-4x-4＞0，解得：$x＜-\frac{2}{3}，x＞2$
令f′（x）=3x²-4x-4＜0，解得：$-\frac{2}{3}＜x＜2$…（4分）
∴f（x）的单调增区间为$（{-∞，-\frac{2}{3}}），（2，+∞）$，f（x）的单调减区间为$[{-\frac{2}{3}，2}]$…（6分）
（2）令x³-2x²-4x=x²-4x解得：x=0，x=3  …（7分）
由定积分的几何意义，知：函数f（x）与函数g（x）的曲线所围成的面积为：$S=\int_0^3{[{（{x^2}-4x）-（{x^3}-2{x^2}-4x）}]}dx=\int_0^3{（3{x^2}-{x^3}）dx}$…（10分）
=${\left.{（{x^3}-\frac{1}{4}{x^4}）}\right|^3}_0=\frac{27}{4}$…（13分）

点评 本题考查了导数的运用求函数的单调区间和利用定积分求封闭图形的面积．