Question

（本小题10分）如图已知在三棱柱ABC——A₁B₁C₁中，AA₁⊥面ABC，AC=BC，M、N、P、Q分别是AA₁、BB₁、AB、B₁C₁的中点.
 
(1) 求证：面PCC₁⊥面MNQ；
(2) 求证：PC₁∥面MNQ。

Answer 1

见解析。

本试题主要是考查了面面垂直的运用以及线面平行的证明综合运用。
（1）因为AC=BC， P是AB的中点      ∴AB⊥PC  ∵AA₁⊥面ABC，CC₁∥AA₁
CC₁⊥面ABC而AB在平面ABC内，由此推理得到MN⊥面PCC₁即可。
（2）连PB₁与MN相交于K，连KQ，∵MN∥PB，N为BB₁的中点，∴K为PB₁的中点.
又∵Q是C₁B₁的中点    ∴PC₁∥KQ，则由线面平行 的判定定理得到结论。
证明：（1）∵AC=BC， P是AB的中点      ∴AB⊥PC  ∵AA₁⊥面ABC，CC₁∥AA₁，
∴CC₁⊥面ABC而AB在平面ABC内       ∴CC₁⊥AB， ∵CC₁∩PC=C   ∴AB⊥面PCC₁；      
又∵M、N分别是AA₁、BB₁的中点，四边形AA₁B₁B是平行四边形，MN∥AB，∴MN⊥面PCC₁   
∵MN在平面MNQ内，∴面PCC₁⊥面MNQ； 
（2）连PB₁与MN相交于K，连KQ，∵MN∥PB，N为BB₁的中点，∴K为PB₁的中点.
又∵Q是C₁B₁的中点    ∴PC₁∥KQ 而KQ平面MNQ，PC₁平面MNQ  ∴PC₁∥面MNQ.