Question

如图，在三棱锥中，侧面与侧面均为等边三角形，，为中点．
（Ⅰ）证明：平面；
（Ⅱ）求二面角的余弦值．

Answer 1

（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）二面角的余弦值为．

(I)由于侧面SBC为等边三角形，O为BC的中点，所以，
只需再取AC的中点M，连接SM，则根据条件易证：,
问题得证.
（II）解决本小题的关键是找出二面角的平面角，具体做法是取中点，连结，由（Ⅰ）知，
得．为二面角的平面角.
（Ⅰ）由题设，连结，为等腰直角三角形，
所以，且，又为等腰三角形，
，且，从而．  
所以为直角三角形，．
又．  所以平面．…………………6分
（Ⅱ）解法一：取中点，连结，由（Ⅰ）知，
得．为二面角的平面角．
由得平面．
所以，又，
故．
所以二面角的余弦值为………………13分
解法二：以为坐标原点，射线分别为轴、轴的正半轴，建立如图的空间直角坐标系．
   
设，则．
的中点，．
．
故等于二面角的平面角．……10分
，
所以二面角的余弦值为．………12分