Question

4．已知函数f₁（x）=$\frac{1}{2}$x²，f₂（x）=alnx（其中a＞0）．
（1）求函数f（x）=f₁（x）-f₂（x）的极值；
（2）若函数g（x）=f₁（x）-f₂（x）+（a-1）x在区间（$\frac{1}{e}$，e）内有两个零点，求正实数a取值范围；
（3）求证：当x＞0时，lnx+$\frac{3}{4{x}^{2}}$-$\frac{1}{{e}^{x}}$＞0．（说明：e是自然对数的底数，e=2.71828…）

Answer 1

分析 （1）先求出函数的导数，解关于导函数的不等式，从而求出函数的单调区间；
（2）先求出函数g（x）的导数，通过讨论x，得到函数的单调区间，结合函数g（x）在区间（$\frac{1}{e}$，e）内有两个零点，得到不等式组，解出即可；
（3）问题等价于x²lnx＞$\frac{{x}^{2}}{{e}^{x}}$-$\frac{3}{4}$，求出f（x）=x²lnx的最小值为-$\frac{1}{2e}$，设h（x）=$\frac{{x}^{2}}{{e}^{x}}$-$\frac{3}{4}$，通过讨论函数的单调性，求出h（x）的最大值，从而证出结论．

解答 解：（1）f（x）=f₁（x）-f₂（x）=$\frac{1}{2}$x²-alnx，
∴f′（x）=x-$\frac{a}{x}$=$\frac{{x}^{2}-a}{x}$，（x＞0，a＞0），
由f′（x）＞0，得x＞$\sqrt{a}$，由f′（x）＜0，得0＜x＜$\sqrt{a}$，
故函数f（x）在（0，$\sqrt{a}$）上单调递减，在（$\sqrt{a}$，+∞）上单调递增，
所以函数f（x）的极小值为f（$\sqrt{a}$）=$\frac{a（1-lna）}{2}$，无极大值．
（2）函数g（x）=$\frac{1}{2}$x²-alnx+（a-1）x，
则g′（x）=$\frac{（x+a）（x-1）}{x}$，
令g′（x）=0，∵a＞0，解得x=1，或x=-a（舍去），
当0＜x＜1时，g′（x）＜0，g（x）在（0，1）上单调递减；
当x＞1时，g′（x）＞0，g（x）在（1，+∞）上单调递增．
函数g（x）在区间（$\frac{1}{e}$，e）内有两个零点，
只需$\left\{\begin{array}{l}{g（\frac{1}{e}）＞0}\\{g（1）＜0}\\{g（e）＞0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{{2e}^{2}}+\frac{a-1}{e}+a＞0}\\{\frac{1}{2}+a-1＜0}\\{\frac{{e}^{2}}{2}+（a-1）e-a＞0}\end{array}\right.$，∴$\left\{\begin{array}{l}{a＞\frac{2e-1}{{2e}^{2}+2e}}\\{a＜\frac{1}{2}}\\{a＞\frac{2e{-e}^{2}}{2e-2}}\end{array}\right.$，
故实数a的取值范围是（$\frac{2e-1}{{2e}^{2}+2e}$，$\frac{1}{2}$）．
（3）问题等价于x²lnx＞$\frac{{x}^{2}}{{e}^{x}}$-$\frac{3}{4}$，
令m（x）=x²lnx，m′（x）=x（2lnx+1），
令m′（x）＞0，解得：x＞${e}^{-\frac{1}{2}}$，令m′（x）＜0，解得：0＜x＜${e}^{-\frac{1}{2}}$，
∴m（x）在（0，${e}^{-\frac{1}{2}}$）递减，在（${e}^{-\frac{1}{2}}$，+∞）递增，
∴m（x）_min=m（${e}^{-\frac{1}{2}}$）=-$\frac{1}{2e}$，
设h（x）=$\frac{{x}^{2}}{{e}^{x}}$-$\frac{3}{4}$，
h′（x）=-$\frac{x（x-2）}{{e}^{x}}$得h（x）在（0，2）上单调递增，在（2，+∞）上单调递减．
∴h（x）_max=h（2）=$\frac{4}{{e}^{2}}$-$\frac{3}{4}$，
∵-$\frac{1}{2e}$-（$\frac{4}{{e}^{2}}$-$\frac{3}{4}$）=$\frac{3}{4}$-$\frac{1}{2e}$-$\frac{4}{{e}^{2}}$=$\frac{（3e-8）（e+2）}{{4e}^{2}}$＞0，
∴f（x）_min＞h（x）_max，∴x²lnx＞$\frac{{x}^{2}}{{e}^{x}}$-$\frac{3}{4}$，
故当x＞0时，lnx+$\frac{3}{{4x}^{2}}$-$\frac{1}{{e}^{x}}$＞0．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，不等式的证明，是一道综合题．