题目内容
【题目】已知函数f(x)=( +
)x3(a>0,a≠1).
(1)讨论函数f(x)的奇偶性;
(2)求a的取值范围,使f(x)+f(2x)>0在其定义域上恒成立.
【答案】
(1)解:定义域为(﹣∞,0)∪(0,+∞),
∵f(﹣x)=( +
)(﹣x)3=﹣(
+
)x3=(
+
)=f(x)
∴f(x)是偶函数.
(2)解:∵函数f(x)在定义域上是偶函数,
∴函数y=f(2x)在定义域上也是偶函数,
∴当x∈(0,+∞)时,f(x)+f(2x)>0可满足题意,
∵当x∈(0,+∞)时,x3>0,
∴只需 +
+
+
>0,即
>0,
∵a2x+ax+1>0,
∴(ax)2﹣1>0,解得a>1,
∴当a>1时,f(x)+f(2x)>0在定义域上恒成立
【解析】(1)由可推知f(﹣x)=f(x),从而可判断函数f(x)的奇偶性;(2)利用(1)知f(x)为偶函数,可知当x∈(0,+∞)时,x3>0,从而可判知,要使f(x)+f(2x)>0在其定义域上恒成立,只需当a>1时即可.
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