题目内容
【题目】已知函数f（x）=（ 
+ 
）x3（a＞0，a≠1）．
（1）讨论函数f（x）的奇偶性；
（2）求a的取值范围，使f（x）+f（2x）＞0在其定义域上恒成立．
【答案】
（1）解：定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），
∵f（﹣x）=（ 
+ 
）（﹣x）3=﹣（ 
+ ）x3=（ + ）=f（x）
∴f（x）是偶函数．
（2）解：∵函数f（x）在定义域上是偶函数，
∴函数y=f（2x）在定义域上也是偶函数，
∴当x∈（0，+∞）时，f（x）+f（2x）＞0可满足题意，
∵当x∈（0，+∞）时，x3＞0，
∴只需 + + 
+ ＞0，即 
＞0，
∵a2x+ax+1＞0，
∴（ax）2﹣1＞0，解得a＞1，
∴当a＞1时，f（x）+f（2x）＞0在定义域上恒成立
【解析】（1）由可推知f（﹣x）=f（x），从而可判断函数f（x）的奇偶性；（2）利用（1）知f（x）为偶函数，可知当x∈（0，+∞）时，x3＞0，从而可判知，要使f（x）+f（2x）＞0在其定义域上恒成立，只需当a＞1时即可．
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