Question

2．已知（$\sqrt{x}-\root{3}{x}$）ⁿ的展开式中所有项的二项式系数之和为1024．
（1）求展开式的所有有理数（指数为整数）；
（2）求（1-x）⁶+（1-x）⁷+…+（1-x）ⁿ展开式中x²项的系数．

Answer 1

分析 （1）通过2ⁿ=1024可得n=10，化简T_r+1=（-1）^r${C}_{10}^{r}$${x}^{5-\frac{r}{6}}$（r=0，1，2，…，10），进而可得r=0，6，计算即得结论；
（2）利用${C}_{n}^{r-1}$=${C}_{n+1}^{r}$-${C}_{n}^{r}$，并项相加即得结论．

解答 解：（1）依题意得，由二项式系数和2ⁿ=1024，解得n=10．
T_r+1=${C}_{10}^{r}（\sqrt{x}）^{10-r}（-\root{3}{x}）^{r}$=（-1）^r${C}_{10}^{r}$${x}^{5-\frac{r}{6}}$（r=0，1，2，…，10），
∵$5-\frac{r}{6}$∈Z，∴r=0，6，
∴有理项为T₁=${C}_{10}^{0}{x}^{5}$=x⁵，T₇=${C}_{10}^{6}$x⁴=210x⁴；
（2）x²项的系数为：${C}_{6}^{2}$+${C}_{7}^{2}$+…+${C}_{10}^{2}$，
∵${C}_{n}^{r}$+${C}_{n}^{r-1}$=${C}_{n+1}^{r}$，∴${C}_{n}^{r-1}$=${C}_{n+1}^{r}$-${C}_{n}^{r}$，
∴${C}_{6}^{2}$=${C}_{7}^{3}$-${C}_{6}^{3}$，${C}_{7}^{2}$=${C}_{8}^{3}$-${C}_{7}^{3}$，…，${C}_{10}^{2}$=${C}_{11}^{3}$-${C}_{10}^{3}$，
相加得：${C}_{6}^{2}$+${C}_{7}^{2}$+…+${C}_{10}^{2}$=${C}_{11}^{3}$-${C}_{6}^{3}$=145，
∴x²项的系数为145．

点评 本题考查二项式定理等有关问题，注意解题方法的积累，属于中档题．