题目内容
【题目】如图，在四棱锥
中，
底面
，底面是直角梯形，
为侧棱
上一点，已知
.
（Ⅰ）证明:平面
平面
；
（Ⅱ）求二面角
的余弦值.
【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）
.
【解析】
(Ⅰ) 先证明
，再证明
平面
，利用面面垂直的判定定理，即可求证所求证；
(Ⅱ)根据题意以
为
轴、
轴、
轴建立空间直角坐标系，求出平面
和平面
的向量，利用公式即可求解.
(Ⅰ)证：由已知得
又
平面
，
平面，
，
而
故，平面
平面
，
平面
平面
(Ⅱ)由(Ⅰ)知
，推理知梯形中
，
，
，
有
，又
，故
所以
相似
，故有
，即
所以，以
为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系
，
则
，
，
，设平面的法向量为
，则
令
，则
，
是平面
的一个法向量
设平面的一个法向量为
令
，则
是平面的一个法向量
=
又二面角
为钝二面角，其余弦值为.
【题目】某市为了调查小区成年居民对环境治理情况的满意度（满分按100计），随机对20名六十岁以上的老人和20名十八岁以上六十岁以下的中青年进行了不记名的问卷调查，得到了如下统计结果：
表1：六十岁以上的老人对环境治理情况的满意度与频数分布表
满意度 |
|
|
|
|
|
人数 | 1 | 5 | 6 | 5 | 3 |
表2：十八岁以上六十岁以下的中青年人对环境治理情况的满意度与频数分布表
满意度 |
|
|
|
|
|
人数 | 2 | 4 | 8 | 4 | 2 |
表3：
满意度小于80 | 满意度不小于80 | 合计 | |
六十岁以上老人人数 | |||
十八岁以上六十岁以下的中青年人人数 | |||
合计 |
（1）若该小区共有中青年人500人，试估计其中满意度不少于80的人数；
（2）完成表3的
列联表，并回答能否有
的把握认为“小区成年居民对环境治理情况的满意度与年龄有关”？
（3）从表3的六十岁以上的老人“满意度小于80”和“满意度不小于80”的人数中用分层抽样的方法抽取一个容量为5的样本，再从中任取3人，求至少有两人满意小于80的概率.
附：
，其中
.
| 0.50 | 0.40 | 0.25 | 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
| 0.455 | 0.708 | 1.323 | 2.072 | 2.706 | 3.84 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.83 |
