Question

如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁C₁C是边长为4的正方形，平面ABC⊥平面AA₁C₁C，AB＝3，BC＝5．

（1）求直线B₁C₁与平面A₁BC₁所成角的正弦值；
（2）在线段BC₁上确定一点D，使得AD⊥A₁B，并求的值．

Answer 1

（1）（2）

试题分析：（1）解决这类问题的思路是，根据几何体的结构特征找出或作出所求的线面角，再设法利用三角形知识求其正弦；或是建立适当的空间直角坐标系，借助法向量和直线的方向向量求直线与平面所成角的正弦；由于该问题中的几何体中棱的垂直关系较为明显，可采用后者.
（2）在（1）中已建立空间直角坐标系的基础上，用向量法解决垂直问题很是方便.
设D(x，y，z)是线段BC₁上一点，且＝λ（λ∈[0，1]）,求出向量的坐标，利用互相垂直的向量的数量积为零建立方程，求出的值.
试题解析：（1）∵AA₁C₁C为正方形，∴AA₁⊥AC．
∵平面ABC⊥平面AA₁C₁C，
∴AA₁⊥平面ABC，
∴AA₁⊥AC，AA₁⊥AB．
由已知AB＝3，BC＝5，AC＝4，∴AB⊥AC．
如图，以A为原点建立空间直角坐标系A-xyz，

则B(0，3，0)，A₁(0，0，4)，B₁(0，3，4)，C₁(4，0，4)，
∴＝(0，3，－4)，＝(4，0，0)，＝(4，－3，0)．
设平面A₁BC₁的法向量为n＝(x，y，z)，则
即
令z＝3，则x＝0，y＝4，∴n＝(0，4，3)．
设直线B₁C₁与平面A₁BC₁所成的角为θ，则
sinθ＝|cos＜，n＞|＝＝＝．
故直线B₁C₁与平面A₁BC₁所成角的正弦值为．            6分
（2）设D(x，y，z)是线段BC₁上一点，且＝λ（λ∈[0，1]），
∴(x，y－3，z)＝λ(4，－3，4)，
∴x＝4λ，y＝3－3λ，z＝4λ，
∴＝(4λ，3－3λ，4λ)．
又＝(0，3，－4)，
由·＝0，得3(3－3λ)－4×4λ＝0，
即9－25λ＝0，解得λ＝∈[0，1]．
故在线段BC₁上存在点D，使得AD⊥A₁B．
此时＝λ＝．                         12分