题目内容
【题目】已知函数.
(1)若,求函数
的极值;
(2)当时,
,求实数
的取值范围.
【答案】(1)详见解析;(2)
【解析】
(1)当时,
,先求定义域,再求导并判断单调性,即可求出函数
的极值;
(2)将代入得
,即
,令
,只需求出
即可,
,令
,利用导数研究其单调性可得所以
在
上单调递增,且
,对
分
和
,即可求出答案.
(1)当时,
,函数
的定义域为
,
所以.
当,
,所以函数
在
上单调递增;
当时,
,函数
在
上单调递减.
所以当时,函数
有极大值
,无极小值.
(2)依题意,得,即
,
令,
所以,令
,则
.
令,所以
,
所以在
上单调递增,又
,当
时,
,
所以在
上单调递增,且
.
当时,
,
,
在
上单调递增,
,满足条件;
当时,
.
又因为,
所以,使得
,
当,当
,
所以在
上单调递减,
,都有
,不符合题意.
综上所述,实数的取值范围为
.
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