题目内容
【题目】在平面直角坐标系
中，抛物线
的焦点为
，
(其中
)是
上的一点，且
.
(1)求抛物线的方程；
(2)已知
为抛物线上除顶点
之外的任意一点，在点处的切线与
轴交于点
，过点的直线
交抛物线于
，
两点，设
，
，
的斜率分别为
，
，
，求证：，，成等比数列.
【答案】(1)
；(2)证明见解析.
【解析】
(1)根据抛物线的定义可得
，由
在抛物线
列出方程，联立解方程组即可求出
；
(2) 设点
，利用导数的几何意义求出点
处切线的斜率，再由点斜式可求出切线的方程
，令
，可得
，从而可设直线
的方程为
，与联立方程组消去
可得
，设
，利用根与系数关系可得
，再将
用
，
表示并化简可得
，而
，从而可证出
，
，
成等比数列.
(1)由题意，得
，解得
，或
，
又
，所以
，所以抛物线的方程为.
(2)由题意，得直线的斜率存在，且不为0.
由，得
，则
，设点，则切线的斜率为
，
于是切线的方程为，即
，所以.
设直线的方程为，代入，
消去并整理，得
，
由直线交抛物线于
两点，得
.
设，所以，
又
,
，所以
，
，
所以
，又
，
所以
，故
成等比数列.
【题目】2020年春节期间，全国人民都在抗击“新型冠状病毒肺炎”的斗争中.当时武汉多家医院的医用防护物资库存不足，某医院甚至面临断货危机，南昌某生产商现有一批库存的医用防护物资，得知消息后，立即决定无偿捐赠这批医用防护物资，需要用A、B两辆汽车把物资从南昌紧急运至武汉.已知从南昌到武汉有两条合适路线选择，且选择两条路线所用的时间互不影响.据调查统计2000辆汽车，通过这两条路线从南昌到武汉所用时间的频数分布表如下：
所用的时间（单位：小时） |
|
|
|
|
路线1的频数 | 200 | 400 | 200 | 200 |
路线2的频数 | 100 | 400 | 400 | 100 |
假设汽车A只能在约定交货时间的前5小时出发，汽车B只能在约定交货时间的前6小时出发（将频率视为概率）.为最大可能在约定时间送达这批物资，来确定这两车的路线.
（1）汽车A和汽车B应如何选择各自的路线.
（2）若路线1、路线2的“一次性费用”分别为3.2万元、1.6万元，且每车医用物资生产成本为40万元（其他费用忽略不计），以上费用均由生产商承担，作为援助金额的一部分.根据这两辆车到达时间分别计分，具体规则如下（已知两辆车到达时间相互独立，互不影响）：
到达时间与约定时间的差x（单位：小时） |
|
|
|
该车得分 | 0 | 1 | 2 |
生产商准备根据运输车得分情况给出现金排款，两车得分和为0，捐款40万元，两车得分和每增加1分，捐款增加20万元，若汽车A、B用（1）中所选的路线运输物资，记该生产商在此次援助活动中援助总额为Y（万元），求随机变量Y的期望值，（援助总额
一次性费用
生产成本现金捐款总额）
【题目】2019年12月1日起郑州市施行《郑州市城市生活垃圾分类管理办法》，郑州将正式进入城市生活垃圾分类时代．为了增强社区居民对垃圾分类知识的了解，积极参与到垃圾分类的行动中，某社区采用线下和线上相结合的方式开展了一次200名辖区成员参加的“垃圾分类有关知识”专题培训．为了了解参训成员对于线上培训、线下培训的满意程度，社区居委会随机选取了40名辖区成员，将他们分成两组，每组20人，分别对线上、线下两种培训进行满意度测评，根据辖区成员的评分（满分100分）绘制了如图所示的茎叶图．
（1）根据茎叶图判断辖区成员对于线上、线下哪种培训的满意度更高，并说明理由．
（2）求这40名辖区成员满意度评分的中位数
，并将评分不超过、超过分别视为“基本满意”“非常满意”两个等级．
（ⅰ）利用样本估计总体的思想，估算本次培训共有多少辖区成员对线上培训非常满意；
（ⅱ）根据茎叶图填写下面的列联表．
基本满意 | 非常满意 | 总计 | |
线上培训 | |||
线下培训 | |||
总计 |
并根据列联表判断能否有99．5%的把握认为辖区成员对两种培训方式的满意度有差异？
附：
| 0．010 | 0．005 | 0．001 |
| 6．635 | 7．879 | 10．828 |
，其中
．
