题目内容
【题目】在平面直角坐标系中,抛物线
的焦点为
,
(其中
)是
上的一点,且
.
(1)求抛物线的方程;
(2)已知为抛物线
上除顶点
之外的任意一点,在点
处的切线与
轴交于点
,过
点的直线
交抛物线于
,
两点,设
,
,
的斜率分别为
,
,
,求证:
,
,
成等比数列.
【答案】(1);(2)证明见解析.
【解析】
(1)根据抛物线的定义可得,由
在抛物线
列出方程,联立解方程组即可求出
;
(2) 设点,利用导数的几何意义求出点
处切线的斜率,再由点斜式可求出切线的方程
,令
,可得
,从而可设直线
的方程为
,与
联立方程组消去
可得
,设
,利用根与系数关系可得
,再将
用
,
表示并化简可得
,而
,从而可证出
,
,
成等比数列.
(1)由题意,得,解得
,或
,
又,所以
,所以抛物线
的方程为
.
(2)由题意,得直线的斜率存在,且不为0.
由,得
,则
,设点
,则切线的斜率为
,
于是切线的方程为,即
,所以
.
设直线的方程为
,代入
,
消去并整理,得
,
由直线交抛物线于
两点,得
.
设,所以
,
又,
,所以
,
,
所以,又
,
所以,故
成等比数列.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】2020年春节期间,全国人民都在抗击“新型冠状病毒肺炎”的斗争中.当时武汉多家医院的医用防护物资库存不足,某医院甚至面临断货危机,南昌某生产商现有一批库存的医用防护物资,得知消息后,立即决定无偿捐赠这批医用防护物资,需要用A、B两辆汽车把物资从南昌紧急运至武汉.已知从南昌到武汉有两条合适路线选择,且选择两条路线所用的时间互不影响.据调查统计2000辆汽车,通过这两条路线从南昌到武汉所用时间的频数分布表如下:
所用的时间(单位:小时) | ||||
路线1的频数 | 200 | 400 | 200 | 200 |
路线2的频数 | 100 | 400 | 400 | 100 |
假设汽车A只能在约定交货时间的前5小时出发,汽车B只能在约定交货时间的前6小时出发(将频率视为概率).为最大可能在约定时间送达这批物资,来确定这两车的路线.
(1)汽车A和汽车B应如何选择各自的路线.
(2)若路线1、路线2的“一次性费用”分别为3.2万元、1.6万元,且每车医用物资生产成本为40万元(其他费用忽略不计),以上费用均由生产商承担,作为援助金额的一部分.根据这两辆车到达时间分别计分,具体规则如下(已知两辆车到达时间相互独立,互不影响):
到达时间与约定时间的差x(单位:小时) | |||
该车得分 | 0 | 1 | 2 |
生产商准备根据运输车得分情况给出现金排款,两车得分和为0,捐款40万元,两车得分和每增加1分,捐款增加20万元,若汽车A、B用(1)中所选的路线运输物资,记该生产商在此次援助活动中援助总额为Y(万元),求随机变量Y的期望值,(援助总额一次性费用
生产成本
现金捐款总额)
【题目】2019年12月1日起郑州市施行《郑州市城市生活垃圾分类管理办法》,郑州将正式进入城市生活垃圾分类时代.为了增强社区居民对垃圾分类知识的了解,积极参与到垃圾分类的行动中,某社区采用线下和线上相结合的方式开展了一次200名辖区成员参加的“垃圾分类有关知识”专题培训.为了了解参训成员对于线上培训、线下培训的满意程度,社区居委会随机选取了40名辖区成员,将他们分成两组,每组20人,分别对线上、线下两种培训进行满意度测评,根据辖区成员的评分(满分100分)绘制了如图所示的茎叶图.
(1)根据茎叶图判断辖区成员对于线上、线下哪种培训的满意度更高,并说明理由.
(2)求这40名辖区成员满意度评分的中位数,并将评分不超过
、超过
分别视为“基本满意”“非常满意”两个等级.
(ⅰ)利用样本估计总体的思想,估算本次培训共有多少辖区成员对线上培训非常满意;
(ⅱ)根据茎叶图填写下面的列联表.
基本满意 | 非常满意 | 总计 | |
线上培训 | |||
线下培训 | |||
总计 |
并根据列联表判断能否有99.5%的把握认为辖区成员对两种培训方式的满意度有差异?
附:
0.010 | 0.005 | 0.001 | |
6.635 | 7.879 | 10.828 |
,其中
.