题目内容
【题目】已知函数.
(I) 当时,求函数
的单调区间;
(II) 当时,
恒成立,求
的取值范围.
【答案】(1)见解析;(2)见解析.
【解析】
试题分析:(Ⅰ)对函数求导,令
,由
,可得
有两个不同解,结合函数
的定义域,即可求得函数
的单调区间;(Ⅱ)当
时,
恒成立等价于当
时,
恒成立,令
,求导得
,设
,利用导数研究函数
的单调性,从而可确定
,然后对
分类讨论,即可求得
的取值范围.
试题解析:(Ⅰ)∵,函数定义域为:
∴
令,由
可知,
从而有两个不同解.
令,则
当时,
;当
时,
,
所以函数的单调递增区间为
,
单调递减区间为.
(Ⅱ)由题意得,当时,
恒成立.
令,求导得
,
设,则
,
∵
∴
∴,
∴在
上单调递增,即
在
上单调递增,
∴
①当时,
,
此时,在
上单调递增,而
.
∴恒成立,满足题意.
②当时,
,而
根据零点存在性定理可知,存在,使得
.
当时,
单调递减;
当时,
,
单调递增.
∴有,
∴恒成立矛盾
∴实数的取值范围为
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