Question

4．设m∈R，函数f（x）=cosx（msinx-cosx）+cos²（$\frac{π}{2}$-x），且f（-$\frac{π}{3}$）=f（0）．
（Ⅰ）求f（x）的单调递减区间；
（Ⅱ）设锐角△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}$=$\frac{c}{2a-c}$，求f（A）的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）现根据题意求得m，进而化简函数解析式，利用正弦函数的图象与性质确定单调减区间．
（Ⅱ）利用余弦定理和正弦定理对已知等式化简整理求得cosB，进而求得B，确定A的范围，则f（A）的取值范围可得．

解答 解：（I）f（x）=cosx（msinx-cosx）+cos²（$\frac{π}{2}$-x）=$\frac{m}{2}$sin2x-cos2x，
由f（-$\frac{π}{3}$）=f（0）得：-$\frac{\sqrt{3}}{4}$m+$\frac{1}{2}$=-1，求得m=2$\sqrt{3}$，
∴f（x）=$\sqrt{3}$sin2x-cos2x=2sin（2x-$\frac{π}{6}$），
由2kπ+$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$得：kπ+$\frac{π}{3}$≤x≤kπ+$\frac{5π}{6}$，k∈Z．
∴f（x）的单调递减区间为：[kπ+$\frac{π}{3}$，kπ+$\frac{5π}{6}$]，k∈Z．
（II）∵$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}$=$\frac{c}{2a-c}$，由余弦定理得：$\frac{2accosB}{2abcosC}$=$\frac{c}{2a-c}$，
即整理得2acosB-ccosB=bcosC，由正弦定理得：
2sinAcosB-sinCcosB=sinBcosC，
2sinAcosB=sin（B+C）=sinA，cosB=$\frac{1}{2}$，
∴B=$\frac{π}{3}$．
∵△ABC锐角三角形，
∴$\frac{π}{6}$＜A＜$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{6}$＜2A-$\frac{π}{6}$＜$\frac{5π}{6}$，
∴f（A）=2sin（2A-$\frac{π}{6}$）的取值范围为（1，2]．

点评 本题主要考查了三角函数图象与性质，正弦定理和余弦定理的运用．考查了学生综合推理能力和一定的运算能力．