题目内容
【题目】已知函数f（x）=|x﹣a|+|x+2|．
（1）当a=1 时，求不等式f（x）≤5的解集；
（2）x0∈R，f（x0）≤|2a+1|，求a的取值范围．
【答案】（1）
；（2）
【解析】
（1）根据绝对值定义将不等式化为三个不等式组，分别求解，最后求并集，（2）先根据绝对值三角不等式得f（x）最小值，再解不等式得a的取值范围.
（1）当a=1时，f（x）=|x﹣1|+|x+2|；
①当x≤﹣2时，f（x）=﹣2x﹣1；
令f（x）≤5，即﹣2x﹣1≤5，解得﹣3≤x≤﹣2；
②当﹣2＜x＜1时，f（x）=3；
显然f（x）≤5成立，∴﹣2＜x＜1；
③当x≥1时，f（x）=2x+1；
令f（x）≤5，即2x+1≤5，解得1≤x≤2；
综上所述，不等式的解集为{x|﹣3≤x≤2}；
（2）因为f（x）=|x﹣a|+|x+2|≥|（x﹣a）﹣（x+2）|=|a+2|；
又x0∈R，有f（x）≤|2a+1|成立；
所以只需|a+2|≤|2a+1|；
∴（a+2）2≤（2a+1）2；
化简可得a2﹣1≥0，解得a≤﹣1，或a≥1；
∴a的取值范围为（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）．
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