题目内容
【题目】已知f(x)=sinx﹣cosx,x∈[0,+∞).
(1)证明: ;
(2)证明:当a≥1时,f(x)≤eax﹣2.
【答案】
(1)解:不等式 ,即不等式
,
设 ,则g'(x)=﹣sinx+x,x∈[0,+∞),
再次构造函数h(x)=﹣sinx+x,则h'(x)=﹣cosx+1≥0在x∈[0,+∞)时恒成立,
所以函数h(x)在[0,+∞)上单调递增,
所以h(x)≥h(0)=0,
所以g'(x)≥0在[0,+∞)上恒成立,
所以函数g(x)在[0,+∞)上单调递增,
所以g(x)≥g(0)=0,
所以 ,
所以 ,即
成立
(2)解:由(1)的解析可知,当x∈[0,+∞)时,sinx≤x且 ,
所以 ,
当 对x∈[0,+∞)恒成立时,不等式f(x)≤eax﹣2恒成立,
不等式 ,即不等式
,对x∈[0,+∞)恒成立,
构造函数 ,
则M'(x)=ex﹣x﹣1,
令m(x)=ex﹣x﹣1,
则m'(x)=ex﹣1,当x∈[0,+∞)时,m'(x)≥0,
故m(x)在[0,+∞)上单调递增,
所以m(x)≥m(0)=0,故M'(x)≥0,即M(x)在[0,+∞)上单调递增,
所以M(x)≥M(0)=0,
故 恒成立,
故当a≥1时, ,
即当a≥1时,不等式f(x)≤eax﹣2恒成立
【解析】(1)设 ,则g'(x)=﹣sinx+x,x∈[0,+∞),再次构造函数h(x)=﹣sinx+x,则h'(x)=﹣cosx+1≥0在x∈[0,+∞)时恒成立,可得g'(x)≥0在[0,+∞)上恒成立,可得
,即可得证.(2)由(1)可知,不等式
,对x∈[0,+∞)恒成立,构造函数
,令m(x)=ex﹣x﹣1,则m'(x)=ex﹣1,当x∈[0,+∞)时,m'(x)≥0,可得
恒成立,从而得证,当a≥1时,不等式f(x)≤eax﹣2恒成立.

【题目】为做好2022年北京冬季奥运会的宣传工作,组委会计划从某大学选取若干大学生志愿者,某记者在该大学随机调查了1000名大学生,以了解他们是否愿意做志愿者工作,得到的数据如表所示:
愿意做志愿者工作 | 不愿意做志愿者工作 | 合计 | |
男大学生 | 610 | ||
女大学生 | 90 | ||
合计 | 800 |
(1)根据题意完成表格;
(2)是否有的把握认为愿意做志愿者工作与性别有关?
【题目】下表是某厂生产某种产品的过程中记录的几组数据,其中表示产量(单位:吨),
表示生产中消耗的煤的数量(单位:吨).
(1)试在给出的坐标系下作出散点图,根据散点图判断,在与
中,哪一个方程更适合作为变量
关于
的回归方程模型?(给出判断即可,不需要说明理由)
(2)根据(1)的结果以及表中数据,建立变量关于
的回归方程.并估计生产
吨产品需要准备多少吨煤.参考公式:
.