题目内容
【题目】已知f（x）=sinx﹣cosx，x∈[0，+∞）．
（1）证明： 
；
（2）证明：当a≥1时，f（x）≤eax﹣2．
【答案】
（1）解：不等式 
，即不等式 
，
设 
，则g'（x）=﹣sinx+x，x∈[0，+∞），
再次构造函数h（x）=﹣sinx+x，则h'（x）=﹣cosx+1≥0在x∈[0，+∞）时恒成立，
所以函数h（x）在[0，+∞）上单调递增，
所以h（x）≥h（0）=0，
所以g'（x）≥0在[0，+∞）上恒成立，
所以函数g（x）在[0，+∞）上单调递增，
所以g（x）≥g（0）=0，
所以 
，
所以 ，即 成立
（2）解：由（1）的解析可知，当x∈[0，+∞）时，sinx≤x且 ，
所以 
，
当 
对x∈[0，+∞）恒成立时，不等式f（x）≤eax﹣2恒成立，
不等式 ，即不等式 
，对x∈[0，+∞）恒成立，
构造函数 
，
则M'（x）=ex﹣x﹣1，
令m（x）=ex﹣x﹣1，
则m'（x）=ex﹣1，当x∈[0，+∞）时，m'（x）≥0，
故m（x）在[0，+∞）上单调递增，
所以m（x）≥m（0）=0，故M'（x）≥0，即M（x）在[0，+∞）上单调递增，
所以M（x）≥M（0）=0，
故 恒成立，
故当a≥1时， 
，
即当a≥1时，不等式f（x）≤eax﹣2恒成立
【解析】（1）设 ，则g'（x）=﹣sinx+x，x∈[0，+∞），再次构造函数h（x）=﹣sinx+x，则h'（x）=﹣cosx+1≥0在x∈[0，+∞）时恒成立，可得g'（x）≥0在[0，+∞）上恒成立，可得 ，即可得证．（2）由（1）可知，不等式 ，对x∈[0，+∞）恒成立，构造函数 ，令m（x）=ex﹣x﹣1，则m'（x）=ex﹣1，当x∈[0，+∞）时，m'（x）≥0，可得 恒成立，从而得证，当a≥1时，不等式f（x）≤eax﹣2恒成立．
【题目】为做好2022年北京冬季奥运会的宣传工作，组委会计划从某大学选取若干大学生志愿者，某记者在该大学随机调查了1000名大学生，以了解他们是否愿意做志愿者工作，得到的数据如表所示：
愿意做志愿者工作 | 不愿意做志愿者工作 | 合计 | |
男大学生 | 610 | ||
女大学生 | 90 | ||
合计 | 800 |
（1）根据题意完成表格；
（2）是否有
的把握认为愿意做志愿者工作与性别有关？
【题目】下表是某厂生产某种产品的过程中记录的几组数据，其中
表示产量（单位：吨），
表示生产中消耗的煤的数量（单位：吨）.
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（1）试在给出的坐标系下作出散点图，根据散点图判断，在
与
中，哪一个方程更适合作为变量关于的回归方程模型？（给出判断即可，不需要说明理由）
（2）根据（1）的结果以及表中数据，建立变量关于的回归方程.并估计生产
吨产品需要准备多少吨煤.参考公式：
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