题目内容
【题目】已知椭圆的右焦点与抛物线
的焦点重合,且该椭圆的离心率与双曲线
的离心率互为倒数.
(1)求椭圆的方程;
(2)设直线与椭圆相交于不同的两点
,已知点
的坐标为
,点
在线段
的垂直平分线上,且
,求
的值.
【答案】(1)(2)
【解析】】试题分析: 由抛物线方程求得焦点坐标,求得
的值,由双曲线的离心率公式求得其离心率,则
,即可求得椭圆的半长轴
的值,则
,即可求得半短轴,即可求得椭圆的方程;
⑵将直线方程代入椭圆方程,由韦达定理求得,则
,
,即可求得
点坐标,由中点坐标公式求得
点坐标,分类当
及当
时,由
,根据向量的坐标表示,即可求得
的值
解析:(I)抛物线的焦点坐标为,所以
双曲线的离心率为
,所以椭圆的离心率
,
故椭圆的
所以椭圆方程为:
(II)由(I)知,且直线
的斜率必存在,设斜率为
,
则直线方程为: ,设点
的坐标为
,
联立方程,方程消去
整理得:
两点坐标满足上述方程,由韦达定理得
,
所以,
所以,
的坐标为
,
线段的中点为
,则
点坐标为
以下分两种情况:
当时,点
的坐标为
,线段
的垂直平分线为
轴,于是
时,线段
的垂直平分线方程为
,令
,解得
由
所以:
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