Question

【题目】设f（x）=x2lnx，g（x）=ax3﹣x2 ．
（1）求函数f（x）的最小值；
（2）若存在x∈（0，+∞），使f（x）＞g（x），求实数a的取值范围；
（3）若使方程f（x）﹣g（x）=0在x∈[ ，en]（其中e=2.7…为自然对数的底数）上有解的最小a的值为an ， 数列{an}的前n项和为Sn ， 求证：Sn＜3．

Answer 1

【答案】
（1）解：f（x）=x2lnx的导数为f′（x）=2xlnx+x=x（1+2lnx），x＞0，

当x＞ 时，f′（x）＞0，f（x）递增；当0＜x＜ 时，f′（x）＜0，f（x）递减．

即有x= 处取得极小值，也为最小值﹣

（2）解：存在x∈（0，+∞），使f（x）＞g（x），

即为a＜ 在（0，+∞）成立，

设h（x）= ，h′（x）= =﹣ ，

当x＞1时，h′（x）＜0，h（x）递减；当0＜x＜1时，h′（x）＞0，h（x）递增．

即有x=1处取得极大值，也为最大值1，

则a＜1，即a的取值范围是（﹣∞，1）

（3）证明：方程f（x）﹣g（x）=0，即为a= 在x∈[ ，en]上有解，

由（2）可得h（x）= 在（ ，1）递增，在（1，en]递减，

由 ＜en，可得x=en处取得最小值，且为（1+n）e﹣n，

前n项和为Sn=2e﹣1+3e﹣2+4e﹣3+…+（1+n）e﹣n，

eSn=2e0+3e﹣1+4e﹣2+…+（1+n）e1﹣n，

相减可得，（e﹣1）Sn=2+e﹣1+e﹣2+e﹣3+…+e1﹣n﹣（1+n）e﹣n

=1+ ﹣﹣（1+n）e﹣n

化简可得Sn= ﹣ e﹣n（ +n+1）＜ ＜3．

故Sn＜3成立

【解析】（1）求出函数f（x）的导数，求得单调区间和极值，即可得到最小值；（2）由题意可得a＜ 在（0，+∞）成立，设h（x）= ，求出导数，求得单调区间和极值，最大值，即可得到a的范围；（3）方程f（x）﹣g（x）=0，即为a= 在x∈[ ，en]上有解，求得h（x）在x∈[ ，en]上的最小值，可得an=（1+n）e﹣n ， 由错位相减法求得Sn ， 再由不等式的性质即可得证．
【考点精析】认真审题，首先需要了解利用导数研究函数的单调性(一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减)，还要掌握函数的最大(小)值与导数(求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值)的相关知识才是答题的关键．