Question

6．设圆C的方程为x²+y²-2x（$\frac{1-cosθ}{1+cosθ}$）-2ytan$\frac{θ}{2}$+（$\frac{1-cosθ}{1+cosθ}$）²=0，式中θ是实数，且0＜θ＜π．设θ₁、θ₂、θ₃都是区间（0，π）内的实数，且θ₁、θ₂、θ₃为公差不为0的等差数列，当θ依次取值θ₁、θ₂、θ₃时，所对应的圆C的半径依次为r₁、r₂、r₃，试问：r₁、r₂、r₃能否成等比数列？为什么？

Answer 1

分析 求出圆C的圆心和半径r，讨论①当θ₂≠$\frac{π}{2}$时，②当θ₂=$\frac{π}{2}$时，运用等差数列的性质和二倍角的正切公式和两角和的正切公式以及诱导公式，结合等比数列的性质，即可判断．

解答 解：圆C的方程为x²+y²-2x（$\frac{1-cosθ}{1+cosθ}$）-2ytan$\frac{θ}{2}$+（$\frac{1-cosθ}{1+cosθ}$）²=0，
即为（x-$\frac{1-cosθ}{1+cosθ}$）²+（y-tan$\frac{θ}{2}$）²=tan²$\frac{θ}{2}$，
则圆心为（$\frac{1-cosθ}{1+cosθ}$，tan$\frac{θ}{2}$），半径为r=tan$\frac{θ}{2}$，
①当θ₂≠$\frac{π}{2}$时，θ₁、θ₂、θ₃为公差不为0的等差数列，
即有θ₂=$\frac{1}{2}$（θ₁+θ₃），
则tanθ₂=tan$\frac{1}{2}$（θ₁+θ₃），
即为$\frac{2tan\frac{{θ}_{2}}{2}}{1-ta{n}^{2}\frac{{θ}_{2}}{2}}$=$\frac{tan\frac{{θ}_{1}}{2}+tan\frac{{θ}_{3}}{2}}{1-tan\frac{{θ}_{1}}{2}tan\frac{{θ}_{3}}{2}}$，
若r₁、r₂、r₃成等比数列，即为tan$\frac{{θ}_{1}}{2}$，tan$\frac{{θ}_{2}}{2}$，tan$\frac{{θ}_{3}}{2}$成等比数列，
即有tan²$\frac{{θ}_{2}}{2}$=tan$\frac{{θ}_{1}}{2}$tan$\frac{{θ}_{3}}{2}$，
代入上式，可得2tan$\frac{{θ}_{2}}{2}$=tan$\frac{{θ}_{1}}{2}$+tan$\frac{{θ}_{3}}{2}$，
即有tan$\frac{{θ}_{1}}{2}$，tan$\frac{{θ}_{2}}{2}$，tan$\frac{{θ}_{3}}{2}$成等差数列，
则tan$\frac{{θ}_{1}}{2}$=tan$\frac{{θ}_{2}}{2}$=tan$\frac{{θ}_{3}}{2}$，
设θ₁、θ₂、θ₃都是区间（0，π）内的实数，
则θ₁=θ₂=θ₃与公差不为0矛盾，故不成立；
②当θ₂=$\frac{π}{2}$时，$\frac{1}{2}$（θ₁+θ₃）=$\frac{π}{2}$，
$\frac{{θ}_{1}}{2}$=$\frac{π}{2}$-$\frac{{θ}_{3}}{2}$，即有tan$\frac{{θ}_{1}}{2}$tan$\frac{{θ}_{3}}{2}$=1，
又tan²$\frac{{θ}_{2}}{2}$=tan²$\frac{π}{4}$=1，
即有tan²$\frac{{θ}_{2}}{2}$=tan$\frac{{θ}_{1}}{2}$tan$\frac{{θ}_{3}}{2}$，
则有当θ₂=$\frac{π}{2}$时，tan$\frac{{θ}_{1}}{2}$，tan$\frac{{θ}_{2}}{2}$，tan$\frac{{θ}_{3}}{2}$成等比数列，
即有r₁、r₂、r₃成等比数列．

点评 本题考查圆的方程的运用：求圆心和半径，同时考查三角函数的化简，以及等差数列和等比数列的性质，考查运算能力，属于中档题．