题目内容
1.(Ⅰ)已知函数f(x)=|x+3|,g(x)=m-2|x-11|,若2f(x)≥g(x+4)恒成立,求实数m的取值范围.(Ⅱ)已知实数x,y,z满足2x2+3y2+6z2=a(a>0)且x+y+z的最大值是1,求a的值.
分析 (Ⅰ)利用含绝对值的不等式性质|x|+|y|≥|x+y|来处理即可.
(Ⅱ)由柯西不等式证明此题,关键在于怎样构造柯西不等式的形式.
解答 解:(Ⅰ)∵?x∈R,2f(x)=2|x+3|≥g(x+4)=m-|x+4-11|-m-2|x-7|,…(1分)
从而有m≤2(|x-7|+|x+3|)…(2分)
由绝对值不等式的性质知 2(|x-7|+|x+3|)≥2|x-7-(x+3)|=20,
因此,实数m的取值范围为(-∞,20]…(3分)
(Ⅱ)解:由柯西不等式:
[$(\sqrt{2}x)^{2}+(\sqrt{3}y)^{2}+(\sqrt{6}z)^{2}$][$(\frac{1}{\sqrt{2}})^{2}+(\frac{1}{\sqrt{3}})^{2}+(\frac{1}{\sqrt{6}})^{2}$]$≥(\frac{1}{\sqrt{2}}×\sqrt{2}x+\frac{1}{\sqrt{3}}×\sqrt{3}y+\frac{1}{\sqrt{6}}×\sqrt{6}y)^{2}$…(5分)
因为2x2+3y2+6z2=a(a>0),
所以,a≥(x+y+z)2,
因为x+y+z的最大值是1,所以a=1,
当2x=3y=6z时,x+y+z取最大值,…(6分)
所以a=1.…(7分)
点评 本题主要考查柯西不等式和含绝对值的不等式的应用,属于中档题型,高考常有涉及.
练习册系列答案
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