Question

18．已知F₁、F₂分别是椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，椭圆C过点（-$\sqrt{3}$，1）且与抛物线y²=-8x有一个公共的焦点，直线l过右焦点F₂且与椭圆交于A、B两点
（1）求椭圆C方程；
（2）P为直线x=3上的一点，若△ABP为等边三角形，求直线l的方程．

Answer 1

分析 （1）根据题意确定出椭圆的焦点坐标，求出c的值，利用椭圆的简单性质表示出b，将已知点坐标代入求出a与b的值，即可确定出椭圆方程；
（2）设直线l解析式为y=k（x-2），与椭圆方程联立，消去y得到关于x的一元二次方程，利用韦达定理表示出两根之和与两根之积，进而表示出|AB|，设AB的中点为M（x₀，y₀），表示出中点坐标，进而表示出|MP|，根据|MP|=$\frac{\sqrt{3}}{2}$|AB|，求出k的值，即可确定出直线l方程．

解答 解：（1）∵椭圆C过点（-$\sqrt{3}$，1）且与抛物线y²=-8x有一个公共的焦点，且y²=-8x焦点坐标为（-2，0），
∴c=2，即a²-b²=4，
把（-$\sqrt{3}$，1）代入椭圆方程得：$\frac{3}{{a}^{2}}$+$\frac{1}{{b}^{2}}$=$\frac{3}{{a}^{2}}$+$\frac{1}{{a}^{2}-4}$=1，
整理得：a⁴-8a²+12=0，
解得：a²=6或a²=2（舍去），b²=2，
则椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{6}$+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1；
（2）设直线l的方程为y=k（x-2），联立得：$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-2）}\\{\frac{{x}^{2}}{6}+\frac{{y}^{2}}{2}=1}\end{array}\right.$，
消去y得：（3k²+1）x²-12k²x+12k²-6=0，
利用韦达定理得：x₁+x₂=$\frac{12{k}^{2}}{3{k}^{2}+1}$，x₁x₂=$\frac{12{k}^{2}-6}{3{k}^{2}+1}$，
∴|AB|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$|x₁-x₂|=$\sqrt{（1+{k}^{2}）[（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}]}$=$\frac{2\sqrt{6}（{k}^{2}+1）}{3{k}^{2}+1}$，
设AB的中点为M（x₀，y₀），则有x₀=$\frac{6{k}^{2}}{3{k}^{2}+1}$，y₀=-$\frac{2k}{3{k}^{2}+1}$，
∵直线MP的斜率为-$\frac{1}{k}$，且P的横坐标为3，
∴|MP|=$\sqrt{1+\frac{1}{{k}^{2}}}$|x₀-x_P|=$\sqrt{\frac{{k}^{2}+1}{{k}^{2}}}$•$\frac{3（{k}^{2}+1）}{3{k}^{2}+1}$，
当△ABP为等边三角形时，|MP|=$\frac{\sqrt{3}}{2}$|AB|，
∴$\sqrt{\frac{{k}^{2}+1}{{k}^{2}}}$•$\frac{3（{k}^{2}+1）}{3{k}^{2}+1}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$•$\frac{2\sqrt{6}（{k}^{2}+1）}{3{k}^{2}+1}$，
解得：k=±1，
则直线l方程为x-y-2=0或x+y-2=0．

点评 此题考查了直线与圆锥曲线的关系，椭圆的标准方程，韦达定理，以及椭圆的简单性质，熟练掌握椭圆的简单性质是解本题第一问的关键．