题目内容
【题目】设函数
（1）当
， 
恒成立，求实数
的取值范围.
（2）设
在
上有两个极值点
.
（A）求实数
的取值范围；
（B）求证： 
.
【答案】（1）
；（2）（A）
；（B）证明见解析；
【解析】试题分析：(1)构造函数
，求导数分
， 
， 
， 
出函数的最值即可,
(2)函数
有两个极值点
、
,即导函数g′(x)有两个不同的实数根,对a进行分类讨论,不妨设
，则
,构造函数
， 
.,利用函数
的单调性证明不等式.
试题解析：
解：（1）∵
，且
，
∴
.
令
，则
.
①当
时， 
， 
在
上为单调递增函数，
∴
时， 
，不合题意.
②当
时， 
时， 
， 
在
上为单调递增函数，
∴
， 
，不合题意.
③当
时， 
， 
， 
在
上为单调递减函数.
∴
时， 
，不合题意.
④当
时， 
， 
， 
在
上为单调递增函数.
， 
， 
在
上为单调递减函数.
∴
，符合题意.
综上， 
.
（2）
， 
.
.
令
，则
由已知
在
上有两个不等的实根.
（A）①当
时， 
， 
在
上为单调递增函数，不合题意.
②当
时， 
， 
在
上为单调递减函数，不合题意.
③当
时， 
， 
， 
， 
，
所以， 
， 
， 
，解得
.
（B）由已知
， 
，
∴
.
不妨设
，则
，则
.
令
， 
.
则
，∴
在
上为单调递增函数，
∴
即
，
∴
，
∴
，
∴
，
由（A）
，
∴
， 
，
∴
.
【题目】在信息时代的今天，随着手机的发展，“微信”越来越成为人们交流的一种方式，某机构对“使用微
信交流”的态度进行调查，随机抽取了
人，他们年龄的频数分布及对 “使用微信交流”赞成的人数如
下表：（注：年龄单位：岁）
年龄 |
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频数 |
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赞成人数 |
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（1））若以“年龄
岁为分界点”，由以上统计数据完成下面的
列联表，并通过计算判断是否在犯错误的概率不超过
的前提下认为“使用微信交流的态度与人的年龄有关”？
年龄不低于 | 年龄低于 | 合计 | |
赞成 | |||
不赞成 | |||
合计 |
（2））若从年龄在
， 
的别调查的人中各随机选取两人进行追踪调查，记选中的
人中赞成“使用微信交流”的人数为，求随机变量
的分布列及数学期望.
附：参考数据如下：
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参考公式： 
，其中
.
