题目内容
19.设函数f(x)=(2-t)•2x+(t-3).其中t为常数,且t∈R.(1)求f(0)的值;
(2)求函数g(x)=$\frac{f(x)}{{4}^{x}}$在区间[0,1]上的最小值.
分析 (1)由代入法,计算即可得到所求值;
(2)由指数函数的单调性,令m=2-x,则h(m)=(2-t)m+(t-3)m2,对t讨论,注意对称轴和区间的关系,结合单调性,即可得到所求最小值.
解答 解:(1)f(0)=(2-t)•20+(t-3)=2-t+t-3=-1;
(2)函数g(x)=$\frac{f(x)}{{4}^{x}}$=(2-t)•2-x+(t-3)•4-x,
由0≤x≤1,可得2-x∈[$\frac{1}{2}$,1],
令m=2-x,则h(m)=(2-t)m+(t-3)m2,
当t=3时,h(m)=-m在[$\frac{1}{2}$,1]递减,即有h(1)=-1为最小值;
当t<3时,对称轴m=$\frac{t-2}{2(t-3)}$<$\frac{1}{2}$,区间[$\frac{1}{2}$,1]为减区间,
h(1)取得最小值,且为-1;
当3<t≤4,对称轴m=$\frac{t-2}{2(t-3)}$>1,区间[$\frac{1}{2}$,1]为减区间,
h(1)取得最小值,且为-1;
当t>4时,对称轴m=$\frac{t-2}{2(t-3)}$∈[$\frac{1}{2}$,1],在x=$\frac{t-2}{2(t-3)}$处取得最小值,
且为-$\frac{(t-2)^{2}}{4(t-3)}$.
综上可得,当t≤4时,g(x)的最小值为-1;
当t>4时,g(x)的最小值为-$\frac{(t-2)^{2}}{4(t-3)}$.
点评 本题考查可化为二次函数的最值的求法,注意讨论对称轴和区间的关系,同时考查指数函数的单调性的运用,属于中档题.
练习册系列答案
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