Question

8．已知函数y=$\frac{16{x}^{2}-28x+11}{4x-5}$．
（1）当x$≤\frac{4}{5}$时，求y的最大值；
（2）当y≠$\frac{5}{4}$时，求y的值域；
（3）当0＜x＜$\frac{5}{4}$时，求y的最大值．

Answer 1

分析 （1）设t=4x-5，则x=$\frac{t+5}{4}$，用t表示y的解析式，由单调性即可得到所求最大值；
（2）由基本不等式，对t讨论，t＞0，t＜0，即可得到所求值域；
（3）由t＜0，运用基本不等式，即可得到所求最大值．

解答 解：（1）设t=4x-5，则x=$\frac{t+5}{4}$，
y=$\frac{16•\frac{（t+5）^{2}}{16}-28•\frac{t+5}{4}+11}{t}$=t+$\frac{1}{t}$+3，
由x$≤\frac{4}{5}$时，t≤-$\frac{9}{5}$，即有t+$\frac{1}{t}$在（-∞，-$\frac{9}{5}$]递增，
则t=-$\frac{9}{5}$，即x=$\frac{4}{5}$时，取得最大值$\frac{29}{45}$；
（2）当x≠$\frac{5}{4}$时，当t＞0时，y≥2$\sqrt{t•\frac{1}{t}}$+3=5，
t=1时，取得最小值5；
当t＜0时，y≤-2$\sqrt{t•\frac{1}{t}}$+3=1，
t=-1时，取得最大值1．
则有值域为（-∞，1]∪[5，+∞）；
（3）当0＜x＜$\frac{5}{4}$时，-5＜t＜0，
由y=t+$\frac{1}{t}$+3≤-2$\sqrt{t•\frac{1}{t}}$+3=1，
t=-1，即x=1时，取得最大值1．

点评 本题考查函数的最值的求法，考查换元法和基本不等式的运用，注意满足的条件：一正二定三等，属于中档题．