题目内容
【题目】如果函数在定义域的某个区间
上的值域恰为
,则称函数
为
上的等域函数,
称为函数
的一个等域区间.
(1)若函数,
,则函数
存在等域区间吗?若存在,试写出其一个等域区间,若不存在,说明理由
(2)已知函数,其中
且
,
,
.
(ⅰ)当时,若函数
是
上的等域函数,求
的解析式;
(ⅱ)证明:当,
时,函数
不存在等域区间.
【答案】(1);见解析(2)(ⅰ)
(ⅱ)见解析
【解析】
(1)由题意,分析等域区间定义,写出函数的等域区间;
(2)(ⅰ)当时,分析函数单调性,分类讨论等域区间,即可求解;
(ⅱ)由题意,根据,
,判断函数
为减函数,再由反证法,假设函数存在等域区间
,推导出矛盾,即可证明不存在等域区间.
解:(1)函数存在等域区间,如
;
(2)已知函数,其中
且
,
,
D
(ⅰ)当时,
若函数是
上的等域函数,
当时,
为增函数,
则得
,此时
.
当时,
为减函数,
则,得
,不满足条件.
即.
(ⅱ)证明:当,
时,
,即
,
则为减函数,
假设函数存在等域区间,
则,
两式作差,
即,
,
,
,
,
,
则,
等式不成立,即函数不存在等域区间.
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