题目内容
【题目】已知椭圆:
的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点,直线
:
与椭圆
有且只有一个公共点.
(Ⅰ)求椭圆的方程及点
的坐标;
(Ⅱ)设是坐标原点,直线
平行于
,与椭圆
交于不同的两点
、
,且与直线
交于点
,证明:存在常数
,使得
,并求
的值.
【答案】(Ⅰ),点T坐标为(2,1);(Ⅱ)
.
【解析】试题分析:本题考查椭圆的标准方程及其几何性质,考查学生的分析问题、解决问题的能力和数形结合的思想.第(Ⅰ)问,利用直线和椭圆只有一个公共点,联立方程,消去y得关于x的方程有两个相等的实数根,解出b的值,从而得到椭圆E的方程;第(Ⅱ)问,利用椭圆的几何性质,数形结合,根据根与系数的关系,进行求解.
试题解析:(Ⅰ)由已知, ,则椭圆E的方程为
.
由方程组得
.①
方程①的判别式为,由
,得
,
此时方程①的解为,
所以椭圆E的方程为.
点T坐标为(2,1).
(Ⅱ)由已知可设直线的方程为
,
由方程组可得
所以P点坐标为(),
.
设点A,B的坐标分别为.
由方程组可得
.②
方程②的判别式为,由
,解得
.
由②得.
所以,
同理,
所以
.
故存在常数,使得
.
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