Question

【题目】已知{an}是等差数列，其前n项和为Sn ， {bn}是等比数列，且a1=b1=2，a4+b4=27，S4﹣b4=10．
（1）求数列{an}与{bn}的通项公式；
（2）记Tn=anb1+an﹣1b2+…+a1bn ， n∈N* ， 证明：Tn+12=﹣2an+10bn（n∈N*）．

Answer 1

【答案】
（1）解：设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q，

由a1=b1=2，得a4=2+3d，b4=2q3，s4=8+6d，

由条件a4+b4=27，s4﹣b4=10，

得方程组 ，解得 ，

故an=3n﹣1，bn=2n，n∈N*．

（2）证明：方法一，由（1）得，Tn=2an+22an﹣1+23an﹣2+…+2na1； ①；

2Tn=22an+23an﹣1+…+2na2+2n+1a1； ②；

由②﹣①得，Tn=﹣2（3n﹣1）+3×22+3×23+…+3×2n+2n+2

= +2n+2﹣6n+2

=10×2n﹣6n﹣10；

而﹣2an+10bn﹣12=﹣2（3n﹣1）+10×2n﹣12=10×2n﹣6n﹣10；

故Tn+12=﹣2an+10bn（n∈N*）．

方法二：数学归纳法，

③当n=1时，T1+12=a1b1+12=16，﹣2a1+10b1=16，故等式成立，

④假设当n=k时等式成立，即Tk+12=﹣2ak+10bk，

则当n=k+1时有，

Tk+1=ak+1b1+akb2+ak﹣1b3+…+a1bk+1

=ak+1b1+q（akb1+ak﹣1b2+…+a1bk）

=ak+1b1+qTk

=ak+1b1+q（﹣2ak+10bk﹣12）

=2ak+1﹣4（ak+1﹣3）+10bk+1﹣24

=﹣2ak+1+10bk+1﹣12．

即Tk+1+12=﹣2ak+1+10bk+1，因此n=k+1时等式成立．

③④对任意的n∈N*，Tn+12=﹣2an+10bn成立．

【解析】（1）直接设出首项和公差，根据条件求出首项和公差，即可求出通项．（2）先写出Tn的表达式；方法一：借助于错位相减求和；
方法二：用数学归纳法证明其成立．
【考点精析】解答此题的关键在于理解等差数列的通项公式（及其变式）的相关知识，掌握通项公式：或，以及对等比数列的通项公式（及其变式）的理解，了解通项公式：．