题目内容
设椭圆
=1的焦点为F1、F2,P是椭圆上任意一点,一条斜率为
的直线交椭圆于A、B两点,如果当a变化时,总可同时满足:
①∠F1PF2的最大值为
;
②直线l:ax+y+1=0平分线段AB.
求a的取值范围.
=1的焦点为F1、F2,P是椭圆上任意一点,一条斜率为的直线交椭圆于A、B两点,如果当a变化时,总可同时满足:①∠F1PF2的最大值为
;②直线l:ax+y+1=0平分线段AB.
求a的取值范围.
a>
.
.由椭圆的定义及余弦定理得|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cos∠F1PF2=(|PF1|+|PF2|)2-
2|PF1|·|PF2|(1+cos∠F1PF2).
∴2|PF1||PF2|(1+cos∠F1PF2)=4a2-4c2=4b2.
∵|PF1||PF2|≤(
)2,
∴2()2(1+cos∠F1PF2)≥4b2.
∴cos∠F1PF2≥
,当且仅当|PF1|=|PF2|时取等号.由于∠F1PF2的最大值为,
∴=.
∴3a2=4b2,从而椭圆方程为3x2+4y2=3a2.
设AB的方程为y=x+m,代入椭圆方程得4x2+4mx+4m2-3a2=0.
由Δ=16m2-4×4(4m2-3a2)>0
a2>m2.而AB的中点M(-
,
)在l上,
∴-
+1=0,解得m=
.
代入a2>m2,解得a>.
2|PF1|·|PF2|(1+cos∠F1PF2).
∴2|PF1||PF2|(1+cos∠F1PF2)=4a2-4c2=4b2.
∵|PF1||PF2|≤(
)2,∴2(
)2(1+cos∠F1PF2)≥4b2.∴cos∠F1PF2≥
,当且仅当|PF1|=|PF2|时取等号.由于∠F1PF2的最大值为,∴
=.∴3a2=4b2,从而椭圆方程为3x2+4y2=3a2.
设AB的方程为y=
x+m,代入椭圆方程得4x2+4mx+4m2-3a2=0.由Δ=16m2-4×4(4m2-3a2)>0
a2>m2.而AB的中点M(-,)在l上,∴-
+1=0,解得m=.代入a2>m2,解得a>
.
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+
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+
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+
+
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x+
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+
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