Question

【题目】在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=4，CB=2，AA1=2，∠ACB=60°，E、F分别是A1C1 ， BC的中点．

（1）证明：平面AEB⊥平面BB1C1C；
（2）证明：C1F∥平面ABE；
（3）设P是BE的中点，求三棱锥P﹣B1C1F的体积．

Answer 1

【答案】
（1）证明：在△ABC中，∵AC=2BC=4，∠ACB=60°，

∴ ，

∴AB2+BC2=AC2，

∴AB⊥BC．

由已知AB⊥BB1，

∴AB⊥面BB1C1C，

又∵AB面ABE，

故ABE⊥面BB1C1C．

（2）证明：取AC的中点M，连接C1M，FM，在△ABC中，FM∥AB，∴直线FM∥面ABE．

在矩形ACC1A1中，E、M都是中点，∴C1M∥AE，∴直线C1M∥面ABE，

又∵C1M∩FM=M，∴面ABE∥面FMC1，故C1F∥面AEB．

（3）解：在棱AC上取中点G，连接EG、BG，在BG上取中点O，

连接PO，则PO∥BB1，∴点P到面BB1C1C的距离等于点O到平面BB1C1C的距离．

过O作OH∥AB交BC与H，则OH⊥平面BB1C1C，在等边△BCG中，可知CO⊥BG，

∴BO=1，在Rt△BOC中，可得 ，∴ ．

【解析】（1）用勾股定理证明AB⊥BC，由直棱锥的性质可得 AB⊥BB1 ， 证明AB⊥面BB1C1C，从而得到ABE⊥面BB1C1C．（2）取AC的中点M，由FM∥面ABE，C1M∥面ABE，从而面ABE∥面FMC1 ， 得到C1F∥面AEB．（3）在棱AC上取中点G，在BG上取中点O，则PO∥BB1 ， 过O作OH∥AB交BC与H，则OH为棱锥的高，求出OH 值和△B1C1F的面积，代入体积公式进行运算．
【考点精析】本题主要考查了直线与平面平行的判定和平面与平面垂直的判定的相关知识点，需要掌握平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行；简记为：线线平行，则线面平行；一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直才能正确解答此题．