Question

8．已知圆C：x²+y²=4和点Q（4，0）．
（1）若P为圆C上一动点，求线段PQ中点的轨迹方程；
（2）若过点Q的直线l与圆C相交于A，B两点，且以线段AB为直径的圆经过坐标原点，求直线l的方程．

Answer 1

分析 （1）设PQ中点M（x，y），则P（2x-4，2y），代入圆的方程即得线段PQ中点的轨迹方程．
（2）以线段AB为直径的圆经过坐标原点，可得O到直线AB的距离为$\sqrt{2}$，设出直线方程，利用点到直线的距离公式，即可得出结论．

解答 解：（1）设PQ中点M（x，y），则P（2x-4，2y），代入圆的方程得（x-2）²+y²=1．
（2）∵以线段AB为直径的圆经过坐标原点，
∴O到直线AB的距离为$\sqrt{2}$，
设过点Q的直线l的方程为y=k（x-4），即kx-y-4k=0，
∴O到直线AB的距离d=$\frac{|-4k|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=$\sqrt{2}$，
∴k=±$\frac{\sqrt{7}}{7}$，
∴直线l的方程为y=±$\frac{\sqrt{7}}{7}$（x-4）．

点评 本题考查轨迹方程，考查直线与圆的位置关系，相关点代入法主要是根据相关点所满足的方程，通过转换而求动点的轨迹方程．