Question

10．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且cos$\frac{A+C}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
（1）求cosB的值；
（2）若b=2$\sqrt{2}$，求ac的最大值．

Answer 1

分析 （1）已知等式左边利用内角和定理及诱导公式化简求出sin$\frac{B}{2}$的值，原式利用二倍角的余弦函数公式化简，将sin$\frac{B}{2}$的值代入计算即可求出值；
（2）利用余弦定理列出关系式，把b，cosB的值代入并利用基本不等式即可求出ac的最大值．

解答 解：（1）在△ABC中，A+B+C=π，
∵cos$\frac{A+C}{2}$=cos$\frac{π-B}{2}$=sin$\frac{B}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴cosB=1-2sin²$\frac{B}{2}$=$\frac{1}{3}$；
（2）由余弦定理得：b²=a²+c²-2accosB，
把b=2$\sqrt{2}$，cosB=$\frac{1}{3}$代入得：8=a²+c²-$\frac{2}{3}$ac，
由a²+c²≥2ac，得到8≥2ac-$\frac{2}{3}$ac=$\frac{4}{3}$ac，即ac≤6，
当且仅当a=c=$\sqrt{6}$时，ac的最大值为6．

点评 此题考查了正弦、余弦定理，以及基本不等式的运用，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．