题目内容

18.已知△ABC中,∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c,若a=1,2cosC+c=2b,则△ABC的周长的最大值是3.

分析 由余弦定理求得cosC,代入已知等式可得(b+c)2-1=3bc,利用基本不等式求得b+c≤2,故a+b+c≤3.

解答 解:△ABC中,由余弦定理可得2cosC=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{ab}$,
∵a=1,2cosC+c=2b,
∴$\frac{1+{b}^{2}-{c}^{2}}{b}$+c=2b,化简可得(b+c)2-1=3bc.
∵bc≤$(\frac{b+c}{2})^{2}$,∴(b+c)2-1≤3×$(\frac{b+c}{2})^{2}$,解得:b+c≤2(当且仅当b=c时,取等号).
∴△ABC的周长的最大值是3.
故答案为:3.

点评 本题主要考查余弦定理、基本不等式的应用,考查学生的灵活变形能力,属于中档题.

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