Question

18．已知△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，若a=1，2cosC+c=2b，则△ABC的周长的最大值是3．

Answer 1

分析 由余弦定理求得cosC，代入已知等式可得（b+c）²-1=3bc，利用基本不等式求得b+c≤2，故a+b+c≤3．

解答 解：△ABC中，由余弦定理可得2cosC=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{ab}$，
∵a=1，2cosC+c=2b，
∴$\frac{1+{b}^{2}-{c}^{2}}{b}$+c=2b，化简可得（b+c）²-1=3bc．
∵bc≤$（\frac{b+c}{2}）^{2}$，∴（b+c）²-1≤3×$（\frac{b+c}{2}）^{2}$，解得：b+c≤2（当且仅当b=c时，取等号）．
∴△ABC的周长的最大值是3．
故答案为：3．

点评 本题主要考查余弦定理、基本不等式的应用，考查学生的灵活变形能力，属于中档题．