题目内容
【题目】(多选题)下列说法正确的是( )
A.椭圆1上任意一点(非左右顶点)与左右顶点连线的斜率乘积为
B.过双曲线1焦点的弦中最短弦长为
C.抛物线y2=2px上两点A(x1,y1).B(x2,y2),则弦AB经过抛物线焦点的充要条件为x1x2
D.若直线与圆锥曲线有一个公共点,则该直线和圆锥曲线相切
【答案】A
【解析】
直线与圆锥曲线的位置关系问题,通过联立方程组,恰当利用韦达定理,逐项判定,即可求解,得到答案.
对于A中,椭圆的左右顶点的分别为,
设椭圆上除左右顶点以外的任意一点,则
,
又因为点在椭圆上,可得
,解得
,
所以,所以A项是正确的;
对于B中,设双曲线右焦点
,
(1)当直线与双曲线的右支交于,
(i)当直线的斜率不存在时,则直线
方程为
,则
,
(ii)当直线的斜率存在时,则直线
方程为
,
联立方程组,得
,
则,得
或
,
由焦半径公式可得
,
所以当直线的斜率不存在时,
的长最小,最小值为
.
(2)当过的直线与双曲线的两支各有一个交点时,此时可得
的最小值为
.
综上可得,当,即
,此时过焦点的弦长最短为
;
当,即
,此时过焦点的弦长最短为
.
所以B项是不正确的;
对于C中,充分性:当直线的斜率不存在时,直线
的方程为
,此时
,
因为,所以
,此时直线
过焦点
.
当直线的斜率存在时,设直线
方程为
,
由,得
,
所以,且
,
又因为且
,所以
,解得
或
,
所以直线方程为
或
,
当直线时,取
时,
,直线
过焦点
;
当直线时,取
时,
,直线
过焦点
;
所以充分性不成立.
必要性:当直线过焦点
时,
设过焦点的直线的方程为
,代入
,
可得,则
,
则.
所以抛物线上两点
,则弦
经过抛物线的焦点的必要不充分条件是
,所以C是不正确的.
对于D中,当直线和抛物线的对称轴平行时,满足只有一个交点,但此时直线抛物线是相交的,所以直线与圆锥曲线有一个公共点,所以该直线和圆锥曲线相切是错误,即D项是不正确的.
故选:A.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)