Question

4．设椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的右顶点为A，左顶点为B，左焦点为F，M是椭圆上一点，且FM⊥x轴，若|AB|=4|FM|，那么该椭圆的离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

Answer 1

分析 令x=-c，代入椭圆方程，解得|FM|，再由|AB|=4|FM|，列出方程，利用离心率公式，即可得到．

解答 解：由于FM⊥x轴，则令x=-c，代入椭圆方程，解得y=±$\frac{{b}^{2}}{a}$，
∵|AB|=4|FM|，
∴4×$\frac{{b}^{2}}{a}$=2a，
∴a²=2b²，
∴c²=b²，
∴e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题考查椭圆的方程和性质，考查离心率的求法，考查运算能力，属于基础题．