Question

9．椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F₁、F₂，过F₁作圆${x^2}+{y^2}=\frac{{{{（a-b）}^2}}}{4}$的切线，切点为P，切线与椭圆交于点Q，若$\overrightarrow{O{F_1}}+\overrightarrow{OQ}=2\overrightarrow{OP}$，则椭圆的离心率为$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$．

Answer 1

分析 如图所示，$\overrightarrow{O{F_1}}+\overrightarrow{OQ}=2\overrightarrow{OP}$，可得切点P是线段QF₁的中点，又|F₁O|=|OF₂|，利用三角形中位线定理可$|OP|=\frac{1}{2}|Q{F}_{2}|$，再利用椭圆的定义可得|PF₁|，再利用勾股定理与离心率计算公式即可得出．

解答 解：如图所示，
∵$\overrightarrow{O{F_1}}+\overrightarrow{OQ}=2\overrightarrow{OP}$，
∴切点P是线段QF₁的中点，
又|F₁O|=|OF₂|，
∴$|OP|=\frac{1}{2}|Q{F}_{2}|$=$\frac{a-b}{2}$，
∴|QF₂|=a-b，
∴|QF₁|=2a-|QF₂|=a+b，
∴|PF₁|=$\frac{a+b}{2}$．
在Rt△OPF₁中，
由勾股定理可得：${c}^{2}=（\frac{a-b}{2}）^{2}+（\frac{a+b}{2}）^{2}$，
化为2c²=a²+b²=2a²-c²，
∴$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}=\frac{2}{3}$，解得$e=\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
故答案为：$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、三角形中位线定理、勾股定理、圆的切线的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．