题目内容

【题目】已知函数f(x)=(2﹣a)lnx+ +2ax(a≤0).
(1)当a=0时,求f(x)的极值;
(2)当a<0时,讨论f(x)的单调性;
(3)若对任意的a∈(﹣3,﹣2),x1 , x2∈[1,3],恒有(m+ln3)a﹣2ln3>|f(x1)﹣f(x2)|成立,求实数m的取值范围.

【答案】
(1)解:依题意知f(x)的定义域为(0,+∞),

当a=0时,f(x)=2lnx+ ,f′(x)= =

令f′(x)=0,解得x=

当0<x< 时,f′(x)<0;

当x≥ 时,f′(x)>0

又∵f( )=2ln =2﹣2ln2

∴f(x)的极小值为2﹣2ln2,无极大值.


(2)解:f′(x)= +2a=

当a<﹣2时,﹣

令f′(x)<0 得 0<x<﹣ 或x>

令f′(x)>0 得﹣ <x<

当﹣2<a<0时,得﹣

令f′(x)<0 得 0<x< 或x>﹣

令f′(x)>0 得 <x<﹣

当a=﹣2时,f′(x)=﹣ ≤0,

综上所述,当a<﹣2时f(x),的递减区间为(0,﹣ )和( ,+∞),递增区间为(﹣ );

当a=﹣2时,f(x)在(0,+∞)单调递减;

当﹣2<a<0时,f(x)的递减区间为(0, )和(﹣ ,+∞),递增区间为( ,﹣ ).


(3)解:由(2)可知,当a∈(﹣3,﹣2)时,f(x)在区间[1,3]上单调递减,

当x=1时,f(x)取最大值;

当x=3时,f(x)取最小值;

|f(x1)﹣f(x2)|≤f(1)﹣f(3)=(1+2a)﹣[(2﹣a)ln3+ +6a]= ﹣4a+(a﹣2)ln3,

∵(m+ln3)a﹣ln3>|f(x1)﹣f(x2)|恒成立,

∴(m+ln3)a﹣2ln3> ﹣4a+(a﹣2)ln3

整理得ma> ﹣4a,

∵a<0,∴m< ﹣4恒成立,

∵﹣3<a<﹣2,∴﹣ ﹣4<﹣

∴m≤﹣


【解析】(1)当a=0时,f(x)=2lnx+ ,求导,令f′(x)=0,解方程,分析导数的变化情况,确定函数的极值;(2)当a<0时,求导,对导数因式分解,比较两根的大小,确定函数f(x)单调区间;(3)若对任意a∈(﹣3,﹣2)及x1 , x2∈[1,3],恒有(m+ln3)a﹣2ln3>|f(x1)﹣f(x2)|成立,求函数f(x)的最大值和最小值,解不等式,可求实数m的取值范围.
【考点精析】解答此题的关键在于理解利用导数研究函数的单调性的相关知识,掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系: 在某个区间内,(1)如果,那么函数在这个区间单调递增;(2)如果,那么函数在这个区间单调递减,以及对函数的极值与导数的理解,了解求函数的极值的方法是:(1)如果在附近的左侧,右侧,那么是极大值(2)如果在附近的左侧,右侧,那么是极小值.

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