题目内容
19.设函数f(x)=x|x|+bx+c,给出下列四个命题:①当x>0时,f(x)是增函数;
②f(x)的图象关于(0,c)对称;
③当b≠0时,方程f(x)=0必有三个实数根;
④当b=0时,方程f(x)=0有且只有一个实根.
其中正确的命题是②④(填序号)
分析 ①当x>0时f(x)=x2+bx+c的图象是开口向上的抛物线,故不正确;
②通过f(x)=x|x|+bx+c的图象由y=x|x|+bx向上或向下平移|c|个单位及当c=0时f(x)的图象关于原点对称,可知正确;
③令b=1、c=0即可否定结论;
④当b=0时方程即为x|x|+c=0,分c<0、c≥0两种情况讨论即可.
解答 解:f(x)=x|x|+bx+c=$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{2}+bx+c,}&{x≤0}\\{{x}^{2}+bx+c,}&{x>0}\end{array}\right.$,
①当x>0时,f(x)=x2+bx+c的图象是开口向上的抛物线,当-$\frac{b}{2}$≤0时f(x)才是增函数,故不正确;
②由f(x)的解析式可知c=0时,f(x)=-f(-x),其图象关于原点对称,
∵f(x)=x|x|+bx+c的图象由y=x|x|+bx向上或向下平移|c|个单位,
∴f(x)的图象关于(0,c)对称,故正确;
③当b≠0时,令b=1、c=0,则方程f(x)=0,
即x|x|+x=0,解得:x=0,故不正确;
④当b=0时,方程f(x)=0,
即x|x|+c=0,
(i)若c<0,
当x≤0时,即x2=c,此时无解;
当x>0时,即x2=-c,此时x=-$\sqrt{-c}$;
(ii)若c≥0,
当x≤0时,即x2=c,此时x=-$\sqrt{c}$;
当x>0时,即x2=-c,此时无解;
综上所述,当b=0时,方程f(x)=0有且只有一个实根,正确;
故答案为:②④.
点评 本题考查分段函数的应用,考查分析问题、解决问题的能力,考查分类讨论的思想,注意解题方法的积累,属于中档题.
练习册系列答案
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