Question

【题目】函数f（x）=（x2﹣3）ex ， 当m在R上变化时，设关于x的方程f2（x）﹣mf（x）﹣ =0的不同实数解的个数为n，则n的所有可能的值为（ ）
A.3
B.1或3
C.3或5
D.1或3或5

Answer 1

【答案】A
【解析】解：函数f（x）=（x2﹣3）ex的导数为f′（x）=（x+3）（x﹣1）ex ， 当x＞1或x＜﹣3时，f′（x）＞0，f（x）递增；
当﹣3＜x＜1时，f′（x）＜0，f（x）递减．
即有f（x）在x=1处取得极小值﹣2e；在x=﹣3处取得极大值6e﹣3 ，
作出f（x）的图象，如图所示；
关于x的方程f2（x）﹣mf（x）﹣ =0，
由判别式为m2+ ＞0，方程有两个不等实根，
令t=f（x），则t2﹣mt﹣ =0，t1t2=﹣ ＜0，
则原方程有一正一负实根．
当t＞6e﹣3 ， y=t和y=f（x）有一个交点，
当0＜t＜6e﹣3 ， y=t和y=f（x）有三个交点，
当﹣2e＜t＜0时，y=t和y=f（x）有两个交点，
当t＜﹣2e时，y=t和y=f（x）没有交点，
则x的方程f2（x）﹣mf（x）﹣ =0的实根个数为3．
故选：A．