题目内容
【题目】已知椭圆:
的离心率为
,且过点
.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)过点任作一条直线与椭圆
相交于
,
两点,试问在
轴上是否存在定点
,使得直线
与直线
关于
轴对称?若存在,求出点
的坐标;若不存在,说明理由.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)
.
【解析】试卷分析:(Ⅰ)根据离心率为,短轴右端点为A的坐标即可求出a,b的值,进而求出椭圆
的方程;(Ⅱ)分类讨论:当直线
与
轴不垂直时,当
轴时,由椭圆的对称性可知恒有直线
与直线
关于
轴对称,即在
轴上存在定点
,使得直线
与直线
关于
轴对称.
试卷解析:
(Ⅰ)由题意得,
,故椭圆
的方程为
.
(Ⅱ)假设存在点满足题设条件.
当直线与
轴不垂直时,设
的方程为
,
代入椭圆方程化简得:
,
设,
,则
,
,
所以
,
因为
,
所以当时,
,直线
与直线
关于
轴对称,
当轴时,由椭圆的对称性可知恒有直线
与直线
关于
轴对称,
综上可得,在轴上存在定点
,使得直线
与直线
关于
轴对称.
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