题目内容
【题目】已知函数.
(1)当时,求
的定义域;
(2)试判断函数在区间
上的单调性,并给出证明;
(3)若在区间
上恒取正值,求实数
的取值范围.
【答案】(1);(2)函数
在区间
上是减函数,证明见解析;(3)
【解析】
(1)将代入得到
的解析式,根据解析式要有意义,列出不等式,求解即可得到
的定义域;
(2)利用函数单调性的定义,令,先判断出
,再根据对数的单调性,判断出
,从而证明结结论;
(3)将在
上恒取正值,等价为
在
上恒成立,转化为
,利用
的单调性即可求出
的最小值,从而列出不等式,求解即可得到
的取值范围.
(1)当时,
,
,即
,
,即
,
∴函数的定义域为
;
(2)函数在区间
上是减函数.
证明:任取,且
,
,
令,
,
,
,
,即
,
,
,
∴,
∴在
上是减函数;
(3)由(2)可知,在
上是减函数,
∴在
上是单调递减函数,
∴在
上的最小值为
,
∵在
上恒取正值,即
在
上恒成立,
,
,即
,
,
,
,
故的取值范围为
.
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