Question

如图,直线AB为圆的切线,切点为B,点C在圆上,∠ABC的角平分线BE交圆于点E,DB垂直BE交圆于点D.
(1)证明:DB=DC;
(2)设圆的半径为1,BC=,延长CE交AB于点F,求△BCF外接圆的半径.

Answer 1

（1）（看下面的证明过程）
（2）

(1)证明:连结DE,交BC于点G.

因为DB⊥BE,所以DE为直径,∠DCE=∠DBE=90°
由弦切角定理得,∠ABE=∠BCE.
而∠ABE=∠CBE,故∠CBE=∠BCE,
所以∠CBD=∠BCD（等角的余角相等）
所以DB=DC.
(2)由(1)知，∠CDE=∠BDE，DB=DC,
故DG是BC的中垂线，所以BG=
设DE的中点为O,连结BO,则∠BOG=60°.从而∠ABE=∠BCE=∠CBE=30°,
所以CF⊥BF,故Rt△BCF外接圆的半径等于.