题目内容

如图,在四面体ABCD中,PQ分别为棱BCCD上的点,且BP=2PCCQ=2QDR为棱AD的中点,则点AB到平面PQR的距离的比值为         

AB到平面PQR的距离分别为三棱锥APQRBPQR的以三角形PQR为底的高.故其比值等于这两个三棱锥的体积比.

VAPQRVAPQD=×VAPCD=××VABCDVABCD
又,SBPQSBCDSBDQSCPQ=(1--×)SBCDSBCD
VRBPQVRBCD=×VABCDVABCD.∴ AB到平面PQR的距离的比=1∶4.
又,可以求出平面PQRAB的交点来求此比值:
在面BCD内,延长PQBD交于点M,则M为面PQR与棱BD的交点.
由Menelaus定理知,··=1,而=,=,故=4.
在面ABD内,作射线MRAB于点N,则N为面PQRAB的交点.
由Menelaus定理知,··=1,而=4,=1,故=.
AB到平面PQR的距离的比=1∶4.
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