题目内容

8.已知抛物线C:y2=4x上一点P,若以P为圆心,|PO|为半径作圆与抛物线的准线l交于不同的两点M,N,设准线l与x轴的交点为A,则$\frac{1}{|AM|}$+$\frac{1}{|AN|}$的取值范围是(0,$\sqrt{2}$).

分析 设P($\frac{{{y}_{0}}^{2}}{4}$,y0),则圆P的方程为(x-$\frac{{{y}_{0}}^{2}}{4}$)2+(y-y02=$\frac{{{y}_{0}}^{4}}{16}$+y02,设M(-1,y1),N(-1,y2),$\frac{1}{|AM|}$+$\frac{1}{|AN|}$=$\frac{|{y}_{1}|+|{y}_{2}|}{|{y}_{1}{y}_{2}|}$=$\frac{4}{|{y}_{0}|+\frac{2}{|{y}_{0}|}}$,利用函数的单调性,即可求出$\frac{1}{|AM|}$+$\frac{1}{|AN|}$的取值范围.

解答 解:设P($\frac{{{y}_{0}}^{2}}{4}$,y0),则圆P的方程为(x-$\frac{{{y}_{0}}^{2}}{4}$)2+(y-y02=$\frac{{{y}_{0}}^{4}}{16}$+y02
令x=-1,得y2-2y0y+1+$\frac{{{y}_{0}}^{2}}{2}$=0,
设M(-1,y1),N(-1,y2),则y1y2=1+$\frac{{{y}_{0}}^{2}}{2}$,y1+y2=2y0
△=2y02-4>0,y02>2,
∴$\frac{1}{|AM|}$+$\frac{1}{|AN|}$=$\frac{|{y}_{1}|+|{y}_{2}|}{|{y}_{1}{y}_{2}|}$=$\frac{4}{|{y}_{0}|+\frac{2}{|{y}_{0}|}}$,
令t=|y0|(t>$\sqrt{2}$),则y=$\frac{4}{t+\frac{2}{t}}$在($\sqrt{2}$,+∞)上单调递减,
∴y=$\frac{4}{t+\frac{2}{t}}$∈(0,$\sqrt{2}$),
∴$\frac{1}{|AM|}$+$\frac{1}{|AN|}$的取值范围是(0,$\sqrt{2}$).
故答案为:(0,$\sqrt{2}$).

点评 本题考查抛物线方程,考查函数的单调性,考查学生的计算能力,确定$\frac{1}{|AM|}$+$\frac{1}{|AN|}$=$\frac{|{y}_{1}|+|{y}_{2}|}{|{y}_{1}{y}_{2}|}$=$\frac{4}{|{y}_{0}|+\frac{2}{|{y}_{0}|}}$是关键.

练习册系列答案
相关题目

违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com

精英家教网