Question

20．如图，四棱锥P-ABCD中，ABCD为矩形，面PDC⊥面ABCD，∠DPC=90°，E，F 分别为PC，AD的中点．
（1）求证：面PAD⊥面PBC；
（2）求证：EF∥面PAB．

Answer 1

分析 （1）经P点作PM∥AD，经A点作AM∥PD，则四边形PMAD为平行四边形，由∠DPC=90°，可证PC⊥DP，由ABCD为矩形，面PDC⊥面ABCD，可证PC⊥AD，即证明PC⊥面PAD，从而证明面PAD⊥面PBC；
（2）取PB的中点N，连接EN，AN，E，F 分别为PC，AD的中点．则：EN$\stackrel{∥}{=}$$\frac{1}{2}BC$$\stackrel{∥}{=}AF$，证明EF∥AN，即可得证EF∥面PAB．

解答 证明：（1）如图，经P点作PM∥AD，经A点作AM∥PD，则四边形PMAD为平行四边形，面PAD与平行四边形PMAD共面．
∵∠DPC=90°，∴PC⊥DP，
∵ABCD为矩形，面PDC⊥面ABCD，∴PC⊥AD，
∵AD∩DP=D，
∴PC⊥面PAD，
∵PC?面PBC，
∴面PAD⊥面PBC；
（2）取PB的中点N，连接EN，AN，E，F 分别为PC，AD的中点．
则：EN$\stackrel{∥}{=}$$\frac{1}{2}BC$$\stackrel{∥}{=}AF$，
则：四边形ANEF为平行四边形，有：EF∥AN，
又EF?面PAB，AN?面PAB，
故得证：EF∥面PAB．

点评 本题主要考查了直线与平面平行的判定，直线与平面垂直的判定，考查了空间想象能力和推理论证能力，属于基本知识的考查．