Question

9．已知f（x）的导数f′（x）=3x²-3ax，f（0）=b，a、b∈R，1＜a＜2
（1）若函数f（x）在[-1，1]上的最小值为-2，最大值为1，求a、b．
（2）设函数F（x）=（f′（x）+6x+1）•e^2x，试确定F（x）的极值点个数．

Answer 1

分析 （1）由题意得f（x）=x³-$\frac{3}{2}$ax²+b，从而可得f_max（x）=f（0）=b=1，f（-1）=-1-$\frac{3}{2}$a+1=-2，从而解得．
（2）求导F′（x）=e^2x（6x²-（6a-18）x-3a+8），从而判断判别式即可．

解答 解：（1）∵f′（x）=3x²-3ax，f（0）=b，
∴f（x）=x³-$\frac{3}{2}$ax²+b，
∵f′（x）=3x²-3ax=3x（x-a），又∵1＜a＜2，
∴f（x）在[-1，0]上是增函数，在（0，1]上是减函数，
∴f_max（x）=f（0）=b=1，
又∵f（-1）=-1-$\frac{3}{2}$a+b，f（1）=1-$\frac{3}{2}$a+b，
∴f（-1）=-1-$\frac{3}{2}$a+1=-2，
∴a=$\frac{4}{3}$；
（2）F（x）=（f′（x）+6x+1）•e^2x
=（3x²-3ax+6x+1）•e^2x，
F′（x）=[2（3x²-3ax+6x+1）+（6x-3a+6）]•e^2x
=e^2x（6x²-（6a-18）x-3a+8），
∵△=（6a-18）²-4×6×（-3a+8）
=36（a²-6a+9）-24（-3a+8）
=6（6a²-36a+54+12a-32）
=12（3a²-12a+11）=12[3（a-2）²-1]，
当2-$\frac{\sqrt{3}}{3}$≤a＜2时，△≤0，F（x）没有极值点；
当1＜a＜2-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，△＞0，F′（x）=0有两个不同的根，
故F（x）有两个极值点．

点评 本题考查了导数的综合应用及函数的极值的个数的确定．