Question

10．已知e^x+ax-a＞0恒成立，则实数a的取值范围为（-e²，0]．

Answer 1

分析 由题意可得e^x＞-a（x-1），当x=1，x＞1，x＜1时，运用参数分离和导数，求得单调性，解不等式即可得到所求范围．

解答 解：e^x+ax-a＞0恒成立，
即为e^x＞-a（x-1），
当x=1时，e＞0成立；
当x＞1时，-a＜$\frac{{e}^{x}}{x-1}$的最小值，
由f（x）=$\frac{{e}^{x}}{x-1}$的导数为f′（x）=$\frac{{e}^{x}（x-2）}{（x-1）^{2}}$，
当x=2时，f（x）取得最小值e²，
即有-a＜e²，解得a＞-e²；
当x＜1时，-a＞$\frac{{e}^{x}}{x-1}$，
由f（x）=$\frac{{e}^{x}}{x-1}$的导数为f′（x）=$\frac{{e}^{x}（x-2）}{（x-1）^{2}}$＜0，
f（x）递减，即有f（x）＜0，
即有-a≥0，解得a≤0．
则a的范围是（-e²，0]．

点评 本题考查不等式恒成立问题的解法，注意运用参数分离和换元法，运用导数判断单调性求得最值，考查运算能力，属于中档题．