Question

15．已知p：|x+1|≤2，q：（x+1）（x-m）≤0．
（1）若m=4，命题“p或q”为真，“p且q”为假，求实数x的取值范围；
（2）若￢q是￢p的必要不充分条件，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 由p：|x+1|≤2，解得-3≤x≤1．由q：（x+1）（x-m）≤0．对m分类讨论即可得出．
（1）当m=4时，由命题q可得：-1≤x≤4．由于命题“p或q”为真，“p且q”为假，可得p与q必然一真一假．
（2）由￢q是￢p的必要不充分条件，可得q是p的充分不必要条件．即可得出．

解答 解：由p：|x+1|≤2，解得-3≤x≤1．
由q：（x+1）（x-m）≤0．当m＞-1时，解得-1≤x≤m；当m=-1时，解得x=-1；当m＜-1时，解得m≤x≤-1．
（1）当m=4时，由命题q可得：-1≤x≤4．
∵命题“p或q”为真，“p且q”为假，
∴p与q必然一真一假，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-3≤x≤1}\\{x＜-1或x＞4}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{x＜-3或x＞1}\\{-1≤x≤4}\end{array}\right.$，
解得-3≤x＜-1，或1＜x≤4．
∴实数x的取值范围为-3≤x＜-1，或1＜x≤4．
（2）∵￢q是￢p的必要不充分条件，
∴q是p的充分不必要条件．
∴当m＞-1时，可得：-1＜m≤1；
当m=-1时，解得x=-1，满足条件，m=-1；
当m＜-1时，可得-3≤m＜-1．
综上可得：m的取得范围为-3≤x≤1．

点评 本题考查了一元二次不等式的解法、绝对值的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．