题目内容
【题目】如图,P是直线x=4上一动点,以P为圆心的圆Γ经定点B(1,0),直线l是圆Γ在点B处的切线,过A(﹣1,0)作圆Γ的两条切线分别与l交于E,F两点.
(1)求证:|EA|+|EB|为定值;
(2)设直线l交直线x=4于点Q,证明:|EB||FQ|=|BF|EQ|.
【答案】
(1)证明:设AE切圆于M,直线x=4与x轴的交点为N,则EM=EB,
∴|EA|+|EB|=|AM|= =
=
=4为定值;
(2)证明:同理|FA|+|FB|=4,
∴E,F均在椭圆 =1上,
设直线EF的方程为x=my+1(m≠0),令x=4,yQ= ,
直线与椭圆方程联立得(3m2+4)y2+6my﹣9=0,
设E(x1,y1),F(x2,y2),则y1+y2=﹣ ,y1y2=﹣
∵E,B,F,Q在同一条直线上,
∴|EB||FQ|=|BF|EQ|等价于﹣y1 +y1y2=y2
﹣y1y2,
∴2y1y2=(y1+y2) ,
代入y1+y2=﹣ ,y1y2=﹣
成立,
∴|EB||FQ|=|BF|EQ|.
【解析】(1)设AE切圆于M,则EM=EB,即|EA|+|EB|=|AM|即可求出;
(2)先确定E,F均在椭圆上,设直线EF的方程为x=my+1(m≠0),联立E,B,F,Q在同一条直线上,即|EB||FQ|=|BF|EQ|等价于
利用韦达定理,即可证明。
【考点精析】掌握直线与圆的三种位置关系是解答本题的根本,需要知道直线与圆有三种位置关系:无公共点为相离;有两个公共点为相交,这条直线叫做圆的割线;圆与直线有唯一公共点为相切,这条直线叫做圆的切线,这个唯一的公共点叫做切点.
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【题目】2015年一交警统计了某路段过往车辆的车速大小与发生的交通事故次数,得到如下表所示的数据:
车速x(km/h) | 60 | 70 | 80 | 90 | 100 |
事故次数y | 1 | 3 | 6 | 9 | 11 |
(Ⅰ)请画出上表数据的散点图;
(Ⅱ)请根据上表提供的数据,用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程=
x+
;
(Ⅲ)试根据(Ⅱ)求出的线性回归方程,预测在2016年该路段路况及相关安全设施等不变的情况下,车速达到110km/h时,可能发生的交通事故次数.
(附:b=,
=
-
,其中
,
为样本平均值)