题目内容
【题目】如图,已知双曲线C: ﹣y2=1(a>0)的右焦点为F,点A,B分别在C的两条渐近线AF⊥x轴,AB⊥OB,BF∥OA(O为坐标原点).
(1)求双曲线C的方程;
(2)过C上一点P(x0 , y0)(y0≠0)的直线l: ﹣y0y=1与直线AF相交于点M,与直线x= 相交于点N.证明:当点P在C上移动时, 恒为定值,并求此定值.
【答案】
(1)解:依题意知,A(c, ),设B(t,﹣ ),
∵AB⊥OB,BF∥OA,∴ =﹣1, = ,
整理得:t= ,a= ,
∴双曲线C的方程为 ﹣y2=1
(2)证明:由(1)知A(2, ),l的方程为: ﹣y0y=1,
又F(2,0),直线l: ﹣y0y=1与直线AF相交于点M,与直线x= 相交于点N.
于是可得M(2, ),N( , ),
∴ = = = = =
【解析】(1)依题意知,A(c, ),设B(t,﹣ ),利用AB⊥OB,BF∥OA,可求得a= ,从而可得双曲线C的方程;(2)易求A(2, ),l的方程为: ﹣y0y=1,直线l: ﹣y0y=1与直线AF相交于点M,与直线x= 相交于点N,可求得M(2, ),N( , ),于是化简 = 可得其值为 ,于是原结论得证.