题目内容
【题目】如图，已知双曲线C： 
﹣y2=1（a＞0）的右焦点为F，点A，B分别在C的两条渐近线AF⊥x轴，AB⊥OB，BF∥OA（O为坐标原点）． 
（1）求双曲线C的方程；
（2）过C上一点P（x0 ， y0）（y0≠0）的直线l： 
﹣y0y=1与直线AF相交于点M，与直线x= 
相交于点N．证明：当点P在C上移动时， 
恒为定值，并求此定值．
【答案】
（1）解：依题意知，A（c， 
），设B（t，﹣ 
），
∵AB⊥OB，BF∥OA，∴ 
=﹣1， 
= 
，
整理得：t= 
，a= 
，
∴双曲线C的方程为 
﹣y2=1
（2）证明：由（1）知A（2， 
），l的方程为： 
﹣y0y=1，
又F（2，0），直线l： 
﹣y0y=1与直线AF相交于点M，与直线x= 
相交于点N．
于是可得M（2， 
），N（ ， 
），
∴ 
= 
= 
= 
= 
=
【解析】（1）依题意知，A（c， ），设B（t，﹣ ），利用AB⊥OB，BF∥OA，可求得a= ，从而可得双曲线C的方程；（2）易求A（2， ），l的方程为： ﹣y0y=1，直线l： ﹣y0y=1与直线AF相交于点M，与直线x= 相交于点N，可求得M（2， ），N（ ， ），于是化简 = 可得其值为 ，于是原结论得证．
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