题目内容
【题目】已知
，函数
.
（1）讨论
的单调性；
（2）若有两个零点，求实数
的取值范围.
【答案】（1）详见解析；（2）
.
【解析】
(1)
的定义域为
，
.对a分类讨论，解不等式即可得到的单调性；
（2）利用（1）中的单调性转化为研究函数的最值问题.
解：（1）的定义域为，.
①当
时，
，令
，得
；令
，得
，
所以在
上单调递增，
上单调递减.
②当
时，
，
当
，即
时，因为
，所以在上单调递增；
当
，即
时，因为
，所以在
上单调递增；在
上单调递减，在上单调递增；
当
，即
时，因为，所以在上单调递增；在
上单调递减，在
上单调递增.
（2）由（1）知当
时，在上单调递增，在上单调递减，
要使有两个零点，只要
，所以
.（因为当
时，
，当
时，）
下面我们讨论当时的情形：
当，即时，在上单调递增，不可能有两个零点；
当，即时，因为，
所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；
因为
，
，所以
，没有两个零点；
当时，即时，因为，
所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
，，没有两个零点.
综上所述：当时，有两个零点.
【题目】某脐橙种植基地记录了10棵脐橙树在未使用新技术的年产量（单位：
）和使用了新技术后的年产量的数据变化，得到表格如下：
未使用新技术的10棵脐橙树的年产量
第一棵 | 第二棵 | 第三棵 | 第四棵 | 第五棵 | 第六棵 | 第七棵 | 第八棵 | 第九棵 | 第十棵 | |
年产量 | 30 | 32 | 30 | 40 | 40 | 35 | 36 | 45 | 42 | 30 |
使用了新技术后的10棵脐橙树的年产量
第一棵 | 第二棵 | 第三棵 | 第四棵 | 第五棵 | 第六棵 | 第七棵 | 第八棵 | 第九棵 | 第十棵 | |
年产量 | 40 | 40 | 35 | 50 | 55 | 45 | 42 | 50 | 51 | 42 |
已知该基地共有20亩地，每亩地有50棵脐橙树.
（1）估计该基地使用了新技术后，平均1棵脐橙树的产量；
（2）估计该基地使用了新技术后，脐橙年总产量比未使用新技术将增产多少？
（3）由于受市场影响，导致使用新技术后脐橙的售价由原来（未使用新技术时）的每千克10元降为每千克9元，试估计该基地使用新技术后脐橙年总收入比原来增加的百分数.
【题目】“一本书，一碗面，一条河，一座桥”曾是兰州的城市名片，而现在“兰州马拉松”又成为了兰州的另一张名片，随着全民运动健康意识的提高，马拉松运动不仅在兰州，而且在全国各大城市逐渐兴起，参与马拉松训练与比赛的人口逐年增加．为此，某市对人们参加马拉松运动的情况进行了统计调查．其中一项调查是调查人员从参与马拉松运动的人中随机抽取200人，对其每周参与马拉松长跑训练的天数进行统计，得到以下统计表：
平均每周进行长跑训练天数 | 不大于2天 | 3天或4天 | 不少于5天 |
人数 | 30 | 130 | 40 |
若某人平均每周进行长跑训练天数不少于5天，则称其为“热烈参与者”，否则称为“非热烈参与者”．
（1）经调查，该市约有2万人参与马拉松运动，试估计其中“热烈参与者”的人数；
（2）根据上表的数据，填写下列2×2列联表，并通过计算判断是否能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“热烈参与马拉松”与性别有关？
热烈参与者 | 非热烈参与者 | 合计 | |
男 | 140 | ||
女 | 55 | ||
合计 |
附：k2=
（n为样本容量）
P（k2≥k0） | 0.500 | 0.400 | 0.250 | 0.150 | 0.100 | 0.050 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
k0 | 0.455 | 0.708 | 1.323 | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
