题目内容
【题目】求所有的正整数,使得
是一个完全平方数,且除了2或3以外,
没有其他的质因数.
【答案】符合条件的n值有6个,分别为64,108,288,864,1728,10368.
【解析】
设,则
.
依题意,可设
其中,均为非负整数.于是,
.
如果,则
,这是不可能的.所以,
中至少有一个大于0.于是,x和
均为偶数.从而,
均为正整数.
若,则
.
显然,只可能(否则左右两边被4除的余数不相同),此时,
.
显然,只能是,
,此时,
,
.
若,则
是4的倍数.从而,
也是4的倍数,故
.此时
.①
显然,、
中至少有一个应为0(否则式①左右两边奇偶性不相同).
(1)当,即
时,
.②
此时,(否则式②左右两边奇偶性不相同),故
.
若,则式②左边是9的倍数,而右边为3,矛盾.故只能
.从而,式②即
,它只有两组解
和
即和
此时,对应的x值分别为24和96,相应的n值分别为864和10368.
(2)当,即
时,
.③
此时,(否则式③左右两边奇偶性不相同),故
.
若,则式③左边是9的倍数,而右边是3,矛盾.故
.
若,则
,只能
,此时,
,
,
.
若,则
,它只有两组解
和
即和
.
此时,对应的x值分别为12和36,相应的n值分别为288和1728.
因此,符合条件的n值有6个,分别为64,108,288,864,1728,10368.

【题目】“一本书,一碗面,一条河,一座桥”曾是兰州的城市名片,而现在“兰州马拉松”又成为了兰州的另一张名片,随着全民运动健康意识的提高,马拉松运动不仅在兰州,而且在全国各大城市逐渐兴起,参与马拉松训练与比赛的人口逐年增加.为此,某市对人们参加马拉松运动的情况进行了统计调查.其中一项调查是调查人员从参与马拉松运动的人中随机抽取200人,对其每周参与马拉松长跑训练的天数进行统计,得到以下统计表:
平均每周进行长跑训练天数 | 不大于2天 | 3天或4天 | 不少于5天 |
人数 | 30 | 130 | 40 |
若某人平均每周进行长跑训练天数不少于5天,则称其为“热烈参与者”,否则称为“非热烈参与者”.
(1)经调查,该市约有2万人参与马拉松运动,试估计其中“热烈参与者”的人数;
(2)根据上表的数据,填写下列2×2列联表,并通过计算判断是否能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“热烈参与马拉松”与性别有关?
热烈参与者 | 非热烈参与者 | 合计 | |
男 | 140 | ||
女 | 55 | ||
合计 |
附:k2=(n为样本容量)
P(k2≥k0) | 0.500 | 0.400 | 0.250 | 0.150 | 0.100 | 0.050 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
k0 | 0.455 | 0.708 | 1.323 | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |