Question

【题目】设 个正数 满足 （ 且 ）．
（1）当 时，证明： ；
（2）当 时，不等式 也成立，请你将其推广到 （ 且 ）个正数 的情形，归纳出一般性的结论并用数学归纳法证明．

Answer 1

【答案】
（1）

证明：因为 （ 且 ）均为正实数，

左—右=

=0，

所以，原不等式 成立

（2）

归纳的不等式为：

（ 且 ）．

记 ，

当 （ ）时，由（1）知，不等式成立；

假设当 （ 且 ）时，不等式成立，即

．

则当 时，

=

=

= ，

因为 ， ， ，

所以 ，

所以当 ，不等式成立．

综上所述，不等式 （ 且 ）成立．

【解析】本题主要考查了数学归纳法证明不等式，解决问题的关键是根据（1）由于 与 积为 ，所以利用基本不等式进行证明： ， ， ，三式相加得 ，即 （2）本题结构对称，易于归纳出 ，用数学归纳法证明时的难点在于明确 时式子与 式子关系：其差为 ，问题转化为证明 ，这可利用作差，因式分解得证.