题目内容
【题目】设 个正数
满足
(
且
).
(1)当 时,证明:
;
(2)当 时,不等式
也成立,请你将其推广到
(
且
)个正数
的情形,归纳出一般性的结论并用数学归纳法证明.
【答案】
(1)
证明:因为 (
且
)均为正实数,
左—右=
=0,
所以,原不等式 成立
(2)
归纳的不等式为:
(
且
).
记 ,
当 (
)时,由(1)知,不等式成立;
假设当 (
且
)时,不等式成立,即
.
则当 时,
=
=
= ,
因为 ,
,
,
所以 ,
所以当 ,不等式成立.
综上所述,不等式 (
且
)成立.
【解析】本题主要考查了数学归纳法证明不等式,解决问题的关键是根据(1)由于 与
积为
,所以利用基本不等式进行证明:
,
,
,三式相加得
,即
(2)本题结构对称,易于归纳出
,用数学归纳法证明时的难点在于明确
时式子与
式子关系:其差为
,问题转化为证明
,这可利用作差,因式分解得证.
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